Номер 4, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

а) $y=2x$;

б) $y=-3x$;

в) $y=5x-1$;

г) $y=8-4x$;

д) $y=\frac{3}{x-1}$;

е) $y=\frac{2}{2-x}$;

ж) $y=\frac{3x}{2x-1}$;

з) $y=\frac{1-x}{x+2}$.

а) Дана функция $y=2x$.

1. Нахождение обратной функции.

Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$:

$x = 2y$

$y = \frac{1}{2}x$

Таким образом, обратная функция: $y = \frac{1}{2}x$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=2x$ является линейной, её область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$

$E(y): y \in (-\infty; +\infty)$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной функции — с областью определения исходной. Следовательно, для обратной функции $y = \frac{1}{2}x$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=2x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

График обратной функции $y=\frac{1}{2}x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Графики обеих функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1}{2}x$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Дана функция $y=-3x$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = -3y$.

Выражаем $y$: $y = -\frac{1}{3}x$.

Обратная функция: $y = -\frac{1}{3}x$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=-3x$ — линейная, её область определения и область значений — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$, $E(y): y \in (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $y = -\frac{1}{3}x$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=-3x$ — прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

График обратной функции $y = -\frac{1}{3}x$ — прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(-3, 1)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = -\frac{1}{3}x$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Дана функция $y=5x-1$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 5y-1$.

Выражаем $y$: $5y = x+1 \implies y = \frac{x+1}{5}$.

Обратная функция: $y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=5x-1$ — линейная, её область определения и область значений — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$, $E(y): y \in (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{x+1}{5}$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=5x-1$ — прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 4)$.

График обратной функции $y=\frac{x+1}{5}$ — прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(4, 1)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{x+1}{5}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

г) Дана функция $y=8-4x$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 8-4y$.

Выражаем $y$: $4y = 8-x \implies y = \frac{8-x}{4}$.

Обратная функция: $y = 2 - \frac{1}{4}x$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=8-4x$ — линейная, её область определения и область значений — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$, $E(y): y \in (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $y = 2 - \frac{1}{4}x$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=8-4x$ — прямая, проходящая через точки $(0, 8)$ и $(2, 0)$.

График обратной функции $y = 2 - \frac{1}{4}x$ — прямая, проходящая через точки $(8, 0)$ и $(0, 2)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2 - \frac{1}{4}x$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

д) Дана функция $y=\frac{3}{x-1}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{3}{y-1}$.

Выражаем $y$: $y-1 = \frac{3}{x} \implies y = 1 + \frac{3}{x}$.

Обратная функция: $y = 1 + \frac{3}{x}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{3}{x-1}$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Область значений — все числа, кроме 0, так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю.

$D(y): x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для обратной функции $y = 1 + \frac{3}{x}$:

Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{3}{x-1}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

График обратной функции $y=1+\frac{3}{x}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=1$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 1 + \frac{3}{x}$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

е) Дана функция $y=\frac{2}{2-x}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{2}{2-y}$.

Выражаем $y$: $2-y = \frac{2}{x} \implies y = 2 - \frac{2}{x}$.

Обратная функция: $y = 2 - \frac{2}{x}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{2}{2-x}$: $2-x \neq 0 \implies x \neq 2$. Область значений — все числа, кроме 0.

$D(y): x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для обратной функции $y = 2 - \frac{2}{x}$:

Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{2}{2-x}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

График обратной функции $y=2-\frac{2}{x}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2 - \frac{2}{x}$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

ж) Дана функция $y=\frac{3x}{2x-1}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{3y}{2y-1}$.

Выражаем $y$: $x(2y-1) = 3y \implies 2xy - x = 3y \implies 2xy - 3y = x \implies y(2x-3) = x \implies y = \frac{x}{2x-3}$.

Обратная функция: $y = \frac{x}{2x-3}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{3x}{2x-1}$: $2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$. Горизонтальная асимптота находится как отношение коэффициентов при старших степенях $x$, т.е. $y=\frac{3}{2}$.

$D(y): x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{x}{2x-3}$:

Область определения: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{3x}{2x-1}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=\frac{1}{2}$ и горизонтальной асимптотой $y=\frac{3}{2}$.

График обратной функции $y=\frac{x}{2x-3}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=\frac{3}{2}$ и горизонтальной асимптотой $y=\frac{1}{2}$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{x}{2x-3}$. Область определения: $(-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

з) Дана функция $y=\frac{1-x}{x+2}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1-y}{y+2}$.

Выражаем $y$: $x(y+2) = 1-y \implies xy + 2x = 1-y \implies xy+y = 1-2x \implies y(x+1) = 1-2x \implies y = \frac{1-2x}{x+1}$.

Обратная функция: $y = \frac{1-2x}{x+1}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{1-x}{x+2}$: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Горизонтальная асимптота $y=\frac{-1}{1}=-1$.

$D(y): x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{1-2x}{x+1}$:

Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{1-x}{x+2}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$.

График обратной функции $y=\frac{1-2x}{x+1}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1-2x}{x+1}$. Область определения: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.