Номер 2, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) При каких соотношениях между числами $a,b,c,d$ функция $\frac{ax+b}{cx+d}$ обратна самой себе?

Для того чтобы функция $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ была обратна самой себе, она должна совпадать со своей обратной функцией $f^{-1}(x)$.

Сначала найдем обратную функцию. Пусть $y = f(x)$. Выразим $x$ через $y$:

$y = \frac{ax+b}{cx+d} \implies y(cx+d) = ax+b \implies cxy + dy = ax+b \implies x(cy-a) = b-dy \implies x = \frac{-dy+b}{cy-a}$.

Заменив $y$ на $x$, получим выражение для обратной функции: $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.

Теперь приравняем $f(x)$ и $f^{-1}(x)$: $\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{-dx+b}{cx-a}$.

Это равенство должно быть тождеством, то есть выполняться для всех $x$ из области определения. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе пропорциональны. Перекрестное умножение и приведение подобных членов приводит к полиномиальному тождеству:

$(ac+cd)x^2 + (d^2-a^2)x - (ab+bd) = 0$

Это равенство справедливо для всех $x$ только в том случае, если все коэффициенты многочлена равны нулю:

$c(a+d) = 0$

$(d-a)(d+a) = 0$

$b(a+d) = 0$

Из второго уравнения следует, что либо $d=a$, либо $d=-a$.

Если $d=-a$ (то есть $a+d=0$), то первое и третье уравнения системы ($c(a+d)=0$ и $b(a+d)=0$) выполняются автоматически. Это дает первый набор искомых соотношений.

Если же $d=a$, то второе уравнение выполняется, а первое и третье принимают вид $2ac=0$ и $2ab=0$. Это означает, что ($a=0$ или $c=0$) и ($a=0$ или $b=0$). Если $a=0$, то и $d=0$, что является частным случаем условия $a+d=0$. Если же $a \neq 0$, то для выполнения условий необходимо, чтобы $b=0$ и $c=0$. Это дает второй, независимый набор соотношений.

Также необходимо, чтобы функция не была вырожденной (константой), для чего должно выполняться условие $ad-bc \neq 0$.

Ответ: Соотношения между числами $a, b, c, d$, при которых функция $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ обратна самой себе, делятся на два взаимоисключающих случая:

1. $d = -a$. Для того чтобы функция не была константой, должно выполняться условие невырожденности $ad-bc \neq 0$, которое при $d=-a$ принимает вид $-a^2-bc \neq 0$, или $a^2+bc \neq 0$. Этот случай охватывает, например, функции $f(x)=-x$ (где $b=c=0, d=-a, a\neq 0$) или $f(x) = 1/x$ (где $a=d=0, b=1, c=1$).

2. $b = 0$, $c = 0$ и $a=d$. В этом случае, чтобы функция была определена и не была тождественным нулем, требуется $a \neq 0$. Это соответствует тождественной функции $f(x)=x$. Условие невырожденности $ad-bc = a^2-0 = a^2 \neq 0$ здесь выполняется автоматически.