Номер 31, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

31. (2) Упростите:

$( \frac{3-\sqrt{a}}{9-a} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} - 6\frac{a^2+162}{729-a^3} )^{-1} + \frac{a(a+9)}{54}$

Для упрощения данного выражения, сначала выполним действия в скобках. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$ определяется условиями $a \ge 0$ и $a \ne 9$.

Сначала упростим сумму первых двух дробей. Для этого разложим знаменатель первой дроби $9-a$ на множители как разность квадратов: $9-a = (3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})$.

$ \frac{3-\sqrt{a}}{9-a} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} = \frac{3-\sqrt{a}}{(3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} = \frac{1}{3+\sqrt{a}} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(3+\sqrt{a})(3-\sqrt{a}) = 9-a$:

$ \frac{1(3-\sqrt{a}) + 1(3+\sqrt{a})}{(3+\sqrt{a})(3-\sqrt{a})} = \frac{3-\sqrt{a} + 3+\sqrt{a}}{9-a} = \frac{6}{9-a} $

Теперь вычтем из полученного результата третью дробь из скобок. Знаменатель $729-a^3$ представим как разность кубов: $729-a^3 = 9^3-a^3 = (9-a)(81+9a+a^2)$.

$ \frac{6}{9-a} - 6\frac{a^2+162}{729-a^3} = \frac{6}{9-a} - \frac{6(a^2+162)}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

Приводим выражение к общему знаменателю $(9-a)(a^2+9a+81)$:

$ \frac{6(a^2+9a+81) - 6(a^2+162)}{(9-a)(a^2+9a+81)} = \frac{6a^2+54a+486 - 6a^2-972}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

После упрощения числителя получаем:

$ \frac{54a-486}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

Вынесем в числителе общий множитель 54 за скобки и преобразуем выражение:

$ \frac{54(a-9)}{(9-a)(a^2+9a+81)} = \frac{-54(9-a)}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

Так как $a \ne 9$, мы можем сократить дробь на $(9-a)$, в результате чего выражение в скобках равно:

$ \frac{-54}{a^2+9a+81} $

Теперь возведем полученное выражение в степень -1, что эквивалентно переворачиванию дроби:

$ \left(\frac{-54}{a^2+9a+81}\right)^{-1} = \frac{a^2+9a+81}{-54} = -\frac{a^2+9a+81}{54} $

На последнем шаге прибавим к результату второе слагаемое из исходного выражения $\frac{a(a+9)}{54}$:

$ -\frac{a^2+9a+81}{54} + \frac{a(a+9)}{54} = \frac{-(a^2+9a+81) + a(a+9)}{54} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{-a^2-9a-81+a^2+9a}{54} = \frac{-81}{54} $

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, равный 27:

$ \frac{-81 \div 27}{54 \div 27} = -\frac{3}{2} $

Ответ: $-\frac{3}{2}$