Номер 24, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Функции вида $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, $c \ne 0$ называются дробно-линейными.

Докажите, что композиция двух любых дробно-линейных функций есть снова дробно-линейная функция.

Пусть даны две произвольные дробно-линейные функции $f(x)$ и $g(x)$. Согласно определению, данному в задаче, они имеют вид:

$f(x) = \frac{a_1x + b_1}{c_1x + d_1}$, где $c_1 \neq 0$.

$g(x) = \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2}$, где $c_2 \neq 0$.

Кроме того, обычно для дробно-линейных функций подразумевается условие невырожденности $ad-bc \neq 0$. Это условие гарантирует, что функция не является константой. Если $ad-bc=0$, то при $c \neq 0$ функция тождественно равна константе $a/c$ (или $b/d$). Мы будем считать, что исходные функции не являются константами, то есть $a_1d_1 - b_1c_1 \neq 0$ и $a_2d_2 - b_2c_2 \neq 0$.

Найдем композицию этих функций $h(x) = f(g(x))$. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$:

$h(x) = f(g(x)) = \frac{a_1 g(x) + b_1}{c_1 g(x) + d_1} = \frac{a_1 \left( \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2} \right) + b_1}{c_1 \left( \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2} \right) + d_1}$

Чтобы избавиться от многоэтажной дроби, умножим числитель и знаменатель на $(c_2x + d_2)$:

$h(x) = \frac{a_1(a_2x + b_2) + b_1(c_2x + d_2)}{c_1(a_2x + b_2) + d_1(c_2x + d_2)}$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:

$h(x) = \frac{a_1a_2x + a_1b_2 + b_1c_2x + b_1d_2}{c_1a_2x + c_1b_2 + d_1c_2x + d_1d_2} = \frac{(a_1a_2 + b_1c_2)x + (a_1b_2 + b_1d_2)}{(c_1a_2 + d_1c_2)x + (c_1b_2 + d_1d_2)}$

Полученная функция $h(x)$ имеет вид $\frac{Ax+B}{Cx+D}$, где новые коэффициенты равны:

$A = a_1a_2 + b_1c_2$

$B = a_1b_2 + b_1d_2$

$C = c_1a_2 + d_1c_2$

$D = c_1b_2 + d_1d_2$

Чтобы доказать, что $h(x)$ является дробно-линейной функцией, необходимо показать, что она удовлетворяет определению, то есть коэффициент при $x$ в знаменателе, $C$, не равен нулю.

Сначала убедимся, что результирующая функция не является константой, то есть $AD-BC \neq 0$. Можно показать, что определитель матрицы коэффициентов композиции равен произведению определителей исходных матриц:

$AD-BC = (a_1d_1 - b_1c_1)(a_2d_2 - b_2c_2)$

Поскольку мы предположили, что $a_1d_1 - b_1c_1 \neq 0$ и $a_2d_2 - b_2c_2 \neq 0$, их произведение также не равно нулю. Значит, функция $h(x)$ не является константой.

Теперь рассмотрим коэффициент $C = c_1a_2 + d_1c_2$. В общем случае он не равен нулю. Однако можно подобрать такие дробно-линейные функции, для которых $C$ обратится в ноль. Это произойдет, если $a_2/c_2 = -d_1/c_1$ (так как $c_1, c_2 \neq 0$). Геометрически это означает, что горизонтальная асимптота функции $g(x)$ совпадает со значением, в котором находится вертикальная асимптота функции $f(x)$.

Приведем пример. Пусть:

$f(x) = \frac{x}{x+1}$ ($a_1=1, b_1=0, c_1=1, d_1=1$)

$g(x) = \frac{-x+1}{x+2}$ ($a_2=-1, b_2=1, c_2=1, d_2=2$)

Обе функции удовлетворяют определению дробно-линейной функции ($c_1=1 \neq 0, c_2=1 \neq 0$) и являются невырожденными ($a_1d_1-b_1c_1=1 \neq 0$, $a_2d_2-b_2c_2=-3 \neq 0$).

Их композиция:

$h(x) = f(g(x)) = \frac{g(x)}{g(x)+1} = \frac{\frac{-x+1}{x+2}}{\frac{-x+1}{x+2}+1} = \frac{-x+1}{-x+1+x+2} = \frac{-x+1}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

Результирующая функция является линейной. В общем виде $\frac{Ax+B}{Cx+D}$ она записывается как $\frac{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}}{0x+1}$, где коэффициент $C=0$. Согласно определению из условия ($c \neq 0$), эта функция не является дробно-линейной.

Следовательно, утверждение, что композиция двух *любых* дробно-линейных функций есть *снова* дробно-линейная функция, не совсем корректно при строгом следовании определению.

Ответ:Композиция двух дробно-линейных функций $f(x) = \frac{a_1x + b_1}{c_1x + d_1}$ и $g(x) = \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2}$ (где $c_1, c_2 \neq 0$ и $a_id_i - b_ic_i \neq 0$) является функцией вида $h(x) = \frac{Ax+B}{Cx+D}$, где $A=a_1a_2+b_1c_2$, $B=a_1b_2+b_1d_2$, $C=c_1a_2+d_1c_2$, $D=c_1b_2+d_1d_2$. Эта функция всегда невырожденная ($AD-BC \neq 0$). Однако коэффициент $C$ может быть равен нулю. Если $C \neq 0$, то композиция является дробно-линейной функцией. Если $C = 0$, то композиция является линейной функцией, которая не удовлетворяет условию $c \neq 0$ из определения дробно-линейной функции. Таким образом, утверждение задачи верно только для тех пар функций, для которых $c_1a_2 + d_1c_2 \neq 0$.