Номер 25, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

25. (2) Даны функции $g(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

При каких значениях значение функции $f(g(x))$ меньше нуля?

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $f(g(x))$ принимает отрицательные значения, необходимо сначала составить выражение для композиции функций $f(g(x))$, а затем решить неравенство $f(g(x)) < 0$.

Нам даны две функции: $g(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

Первым шагом упростим выражение для функции $f(x)$. Можно заметить, что оно представляет собой формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a=x$ и $b=1$, поэтому:

$f(x) = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = (x+1)^3$.

Теперь найдем композитную функцию $f(g(x))$. Для этого подставим функцию $g(x)$ в качестве аргумента в упрощенное выражение для $f(x)$:

$f(g(x)) = (g(x) + 1)^3$.

Подставляем $g(x) = \frac{1}{x}$:

$f(g(x)) = \left(\frac{1}{x} + 1\right)^3$.

Далее, согласно условию задачи, нам нужно найти значения $x$, при которых $f(g(x)) < 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\left(\frac{1}{x} + 1\right)^3 < 0$.

Возведение в нечетную степень (в данном случае в куб) не меняет знак выражения. Следовательно, данное неравенство равносильно более простому неравенству:

$\frac{1}{x} + 1 < 0$.

Для решения этого неравенства приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1 + x}{x} < 0$.

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это $x = -1$ (из числителя $1+x=0$) и $x = 0$ (из знаменателя). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом из интервалов:

1. Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем пробную точку $x=-2$. Значение дроби будет $\frac{1+(-2)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$.

2. Для интервала $(-1; 0)$ возьмем пробную точку $x=-0.5$. Значение дроби будет $\frac{1+(-0.5)}{-0.5} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0$.

3. Для интервала $(0; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=1$. Значение дроби будет $\frac{1+1}{1} = 2 > 0$.

Нас интересует интервал, на котором выражение меньше нуля. Из анализа знаков следует, что это интервал $(-1; 0)$.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.