Номер 23, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (3)

Решите неравенство $g(g(x)) \ge 2$, если $g(x) = \frac{3x-8}{x-3}$.

Для решения данного неравенства $g(g(x)) \ge 2$ найдем вид композиции функций $g(g(x))$.

Функция задана как $g(x) = \frac{3x-8}{x-3}$.

Чтобы найти $g(g(x))$, подставим выражение для $g(x)$ вместо $x$ в саму функцию $g(x)$:

$g(g(x)) = \frac{3 \cdot g(x) - 8}{g(x) - 3} = \frac{3 \left(\frac{3x-8}{x-3}\right) - 8}{\frac{3x-8}{x-3} - 3}$

Упростим числитель и знаменатель полученной многоэтажной дроби. Для этого приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $(x-3)$.

Упрощение числителя:

$3 \left(\frac{3x-8}{x-3}\right) - 8 = \frac{3(3x-8) - 8(x-3)}{x-3} = \frac{9x - 24 - 8x + 24}{x-3} = \frac{x}{x-3}$

Упрощение знаменателя:

$\frac{3x-8}{x-3} - 3 = \frac{3x-8 - 3(x-3)}{x-3} = \frac{3x - 8 - 3x + 9}{x-3} = \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь для $g(g(x))$:

$g(g(x)) = \frac{\frac{x}{x-3}}{\frac{1}{x-3}}$

При делении дробей "переворачиваем" знаменатель и умножаем:

$g(g(x)) = \frac{x}{x-3} \cdot \frac{x-3}{1} = x$

Таким образом, исходное неравенство $g(g(x)) \ge 2$ сводится к простому неравенству $x \ge 2$.

Однако, необходимо учесть область определения (ОДЗ) сложной функции $g(g(x))$.

1. Для существования внутренней функции $g(x)$, знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3 \ne 0$, следовательно, $x \ne 3$.

2. Для существования внешней функции $g(g(x))$, ее аргумент, то есть $g(x)$, не должен быть равен 3. Проверим, при каких значениях $x$ это возможно:

$g(x) = 3$

$\frac{3x-8}{x-3} = 3$

$3x-8 = 3(x-3)$

$3x-8 = 3x-9$

$-8 = -9$

Последнее равенство является неверным, что означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, $g(x)$ никогда не принимает значение 3.

Объединяя условия, получаем, что область определения для $g(g(x))$ — это все действительные числа, кроме $x=3$.

Итак, мы должны найти решение системы:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ne 3 \end{cases}$

Решением этой системы является множество всех чисел, которые больше или равны 2, за исключением числа 3. На числовой прямой это выглядит как луч, начинающийся в точке 2 (включительно), с "выколотой" точкой 3.

В виде объединения промежутков это записывается как $[2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; 3) \cup (3; +\infty)$.