Номер 19, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (2)

Пусть $f(x)$ - возрастающая, $g(x)$ - убывающая функция на интервале $(a;b)$. Что можно сказать о характере монотонности функции $g(f(x))$ на данном интервале? Что можно сказать о функции $g(g(x))$?

Что можно сказать о характере монотонности функции g(f(x)) на данном интервале?

Рассмотрим сложную функцию $h(x) = g(f(x))$. Чтобы определить её характер монотонности, возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(a; b)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $f(x)$ является возрастающей по условию, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. Обозначим значения функции $f(x)$ как $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$, тогда получаем $y_1 < y_2$.

2. Теперь рассмотрим, как ведёт себя функция $g(y)$ на этих значениях. По условию, функция $g(x)$ является убывающей. Это означает, что для любых двух точек из её области определения, если аргумент возрастает, значение функции убывает. Применительно к нашим точкам $y_1$ и $y_2$, из $y_1 < y_2$ следует, что $g(y_1) > g(y_2)$.

3. Подставим обратно наши обозначения: $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$.

Итак, мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(a; b)$ выполняется неравенство $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$. По определению, это означает, что функция $g(f(x))$ является убывающей.

Ответ: функция $g(f(x))$ является убывающей на интервале $(a; b)$.

Что можно сказать о функции g(g(x))?

Рассмотрим сложную функцию $k(x) = g(g(x))$. Для того чтобы эта композиция была корректно определена на интервале $(a; b)$, необходимо, чтобы область значений функции $g(x)$ для $x \in (a;b)$ входила в её область определения. Будем считать это условие выполненным. Проанализируем монотонность, взяв две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(a; b)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x)$ является убывающей по условию, то из $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$. Обозначим значения внутренней функции $g(x)$ как $z_1 = g(x_1)$ и $z_2 = g(x_2)$, тогда получаем $z_1 > z_2$.

2. Теперь применим к этим значениям внешнюю функцию, которая также является функцией $g(x)$. Так как $g(x)$ убывающая, то из $z_1 > z_2$ (что эквивалентно $z_2 < z_1$) следует, что $g(z_1) < g(z_2)$.

3. Подставим обратно наши обозначения: $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$.

Итак, мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(a; b)$ выполняется неравенство $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$. По определению, это означает, что функция $g(g(x))$ является возрастающей.

Ответ: функция $g(g(x))$ является возрастающей на интервале $(a; b)$.