Номер 16, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (2) Используя условие и рисунки задачи №1 из части 1, выполните задания:

а) найдите $g(f(2))$, $f\left(g\left(2\frac{1}{2}\right)\right)$, $g(f(7))$:

б) решите уравнение $g(f(x))=2$;

в) решите уравнение $f(g(x))=-2$.

Поскольку в условии задачи указано использовать рисунки из задачи №1, которые не предоставлены, решение будет основано на наиболее распространенном варианте графиков для подобных задач. Предположим, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются линейными и их графики проходят через следующие точки:

• График функции $f(x)$ — прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, -1)$.

• График функции $g(x)$ — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

Сначала найдем аналитические выражения для этих функций в виде $y=kx+b$.

Для функции $f(x)$: график пересекает ось OY в точке $(0, -1)$, следовательно, свободный член $b = -1$. Уравнение принимает вид $f(x)=kx-1$. Используем вторую точку $(-2, 0)$: $0 = k(-2) - 1$, откуда $-2k = 1$ и $k = -1/2$. Таким образом, уравнение функции: $f(x) = -\frac{1}{2}x - 1$.

Для функции $g(x)$: график пересекает ось OY в точке $(0, 3)$, следовательно, свободный член $b = 3$. Уравнение принимает вид $g(x)=kx+3$. Используем вторую точку $(2, 0)$: $0 = k(2) + 3$, откуда $2k = -3$ и $k = -3/2$. Таким образом, уравнение функции: $g(x) = -\frac{3}{2}x + 3$.

а) найдите $g(f(2))$, $f(g(2\frac{1}{2}))$, $g(f(7))$

Для нахождения значения сложной функции, сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем подставляем результат во внешнюю функцию.

• Чтобы найти $g(f(2))$, сначала вычислим $f(2)$: $f(2) = -\frac{1}{2}(2) - 1 = -1 - 1 = -2$. Теперь подставим это значение в $g(x)$: $g(f(2)) = g(-2) = -\frac{3}{2}(-2) + 3 = 3 + 3 = 6$.

• Чтобы найти $f(g(2\frac{1}{2}))$, сначала вычислим $g(2\frac{1}{2}) = g(2.5)$: $g(2.5) = -\frac{3}{2}(2.5) + 3 = -3.75 + 3 = -0.75$. Теперь подставим это значение в $f(x)$: $f(g(2.5)) = f(-0.75) = -\frac{1}{2}(-0.75) - 1 = 0.375 - 1 = -0.625$.

• Чтобы найти $g(f(7))$, сначала вычислим $f(7)$: $f(7) = -\frac{1}{2}(7) - 1 = -3.5 - 1 = -4.5$. Теперь подставим это значение в $g(x)$: $g(f(7)) = g(-4.5) = -\frac{3}{2}(-4.5) + 3 = 6.75 + 3 = 9.75$.

Ответ: $g(f(2))=6$; $f(g(2\frac{1}{2})) = -0.625$; $g(f(7))=9.75$.

б) решите уравнение $g(f(x))=2$

Для решения уравнения $g(f(x))=2$ введем замену: пусть $y = f(x)$. Тогда уравнение примет вид $g(y)=2$. Найдем значение $y$:$-\frac{3}{2}y + 3 = 2$$-\frac{3}{2}y = 2 - 3$$-\frac{3}{2}y = -1$$y = \frac{2}{3}$Теперь вернемся к исходной переменной, решив уравнение $f(x) = y$, то есть $f(x) = \frac{2}{3}$:$-\frac{1}{2}x - 1 = \frac{2}{3}$$-\frac{1}{2}x = \frac{2}{3} + 1$$-\frac{1}{2}x = \frac{5}{3}$$x = -\frac{10}{3}$

Ответ: $x = -\frac{10}{3}$.

в) решите уравнение $f(g(x))=-2$

Для решения уравнения $f(g(x))=-2$ введем замену: пусть $y = g(x)$. Тогда уравнение примет вид $f(y)=-2$. Найдем значение $y$:$-\frac{1}{2}y - 1 = -2$$-\frac{1}{2}y = -2 + 1$$-\frac{1}{2}y = -1$$y = 2$Теперь вернемся к исходной переменной, решив уравнение $g(x) = y$, то есть $g(x) = 2$:$-\frac{3}{2}x + 3 = 2$$-\frac{3}{2}x = 2 - 3$$-\frac{3}{2}x = -1$$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.