Номер 10, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3) Пусть $h(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^2$. Найдите область определения каждой из функций $f_1(x)=h(g(x))$ и $f_2(x)=g(h(x))$. Чему равно $f_1(x)$ при $x<0$?

Область определения функции $f_1(x) = h(g(x))$
Даны функции $h(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x^2$.
Составим композицию функций $f_1(x) = h(g(x))$. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $h(x)$:
$f_1(x) = h(g(x)) = h(x^2) = \sqrt{x^2}$.
Область определения функции $h(t) = \sqrt{t}$ — это множество неотрицательных чисел, то есть $t \ge 0$. В нашем случае аргументом для $h$ является $g(x) = x^2$. Следовательно, должно выполняться условие $x^2 \ge 0$.
Это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: Область определения функции $f_1(x)$ — это множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область определения функции $f_2(x) = g(h(x))$
Составим композицию функций $f_2(x) = g(h(x))$. Для этого подставим выражение для $h(x)$ в функцию $g(x)$:
$f_2(x) = g(h(x)) = g(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2$.
Область определения сложной функции $g(h(x))$ — это множество всех $x$, которые принадлежат области определения внутренней функции $h(x)$, и при этом значения $h(x)$ принадлежат области определения внешней функции $g(x)$.
Область определения внутренней функции $h(x) = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.
Область определения внешней функции $g(t) = t^2$ — это все действительные числа.
Таким образом, единственным ограничением является требование к аргументу внутренней функции: $x \ge 0$.
Ответ: Область определения функции $f_2(x)$ — это множество неотрицательных действительных чисел, $x \in [0; +\infty)$.

Чему равно $f_1(x)$ при $x < 0$
Как было найдено ранее, $f_1(x) = \sqrt{x^2}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$). Таким образом, $f_1(x) = |x|$.
Определение модуля числа:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
По условию, нас интересует случай $x < 0$. Для этих значений $x$ функция $|x|$ равна $-x$.
Ответ: При $x < 0$ значение функции $f_1(x) = -x$.