Номер 4, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. a)(1) Пусть $\varphi(x)=\frac{1}{x}$. Найдите $\varphi(\varphi(x))$

б)(2) $\alpha(x)=\frac{xa+1-a^2}{x-a}$, где $a$ - некоторое число. Докажите, что $\alpha(\alpha(x))=x$.

a)(1)Дана функция $φ(x) = \frac{1}{x}$. Чтобы найти композицию функции с самой собой, то есть $φ(φ(x))$, необходимо подставить выражение для $φ(x)$ в качестве аргумента в эту же функцию.

Выполним подстановку:

$φ(φ(x)) = φ(\frac{1}{x})$

Теперь применим определение функции $φ(x)$ к новому аргументу $\frac{1}{x}$. Это означает, что мы должны найти обратное значение для $\frac{1}{x}$:

$φ(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = 1 \cdot \frac{x}{1} = x$

Таким образом, $φ(φ(x)) = x$.

Ответ: $x$

б)(2)Дана функция $α(x) = \frac{xa + 1 - a^2}{x - a}$, где $a$ — некоторое число. Требуется доказать, что $α(α(x)) = x$.

Для доказательства найдем $α(α(x))$, подставив выражение $α(x)$ вместо переменной $x$ в саму функцию $α(x)$:

$α(α(x)) = α\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right) = \frac{\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right)a + 1 - a^2}{\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right) - a}$

Упростим числитель и знаменатель полученной "многоэтажной" дроби по отдельности.

Числитель:

$\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right)a + 1 - a^2 = \frac{a(xa + 1 - a^2)}{x - a} + \frac{(1 - a^2)(x - a)}{x - a}$

$= \frac{xa^2 + a - a^3 + x - a - xa^2 + a^3}{x - a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе полученного выражения:

$= \frac{(xa^2 - xa^2) + (a - a) + (-a^3 + a^3) + x}{x - a} = \frac{x}{x - a}$

Знаменатель:

$\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right) - a = \frac{xa + 1 - a^2}{x - a} - \frac{a(x-a)}{x-a}$

$= \frac{xa + 1 - a^2 - (xa - a^2)}{x - a} = \frac{xa + 1 - a^2 - xa + a^2}{x - a}$

Приведем подобные слагаемые:

$= \frac{(xa - xa) + (-a^2 + a^2) + 1}{x - a} = \frac{1}{x - a}$

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в исходную дробь:

$α(α(x)) = \frac{\frac{x}{x - a}}{\frac{1}{x - a}} = \frac{x}{x - a} \cdot \frac{x - a}{1} = x$

Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.