Номер 1, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2)-(3) На рисунке изображены графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$; $D(f): [-2;7], D(g): [-4;4]$.

а) Найдите $f(g(2)), g(f(3)), f\left(g\left(-2\frac{1}{2}\right)\right)$.

б) Решите уравнение $f(g(x))=2$.

в) Решите уравнение $g(f(x))=-1$.

а)

Для нахождения значений сложных функций будем последовательно использовать графики.
1. Найдем $f(g(2))$.
Сначала найдем значение внутренней функции $g(2)$. По графику функции $y=g(x)$ находим точку с абсциссой $x=2$. Ордината этой точки равна $-2$. Таким образом, $g(2)=-2$.
Теперь найдем значение внешней функции $f(-2)$. По графику функции $y=f(x)$ находим точку с абсциссой $x=-2$. Ордината этой точки равна $2$. Таким образом, $f(-2)=2$.
Следовательно, $f(g(2)) = f(-2) = 2$.

2. Найдем $g(f(3))$.
Сначала найдем значение $f(3)$. По графику функции $y=f(x)$ находим точку с абсциссой $x=3$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем точки $(2, -1)$ и $(5, 2)$. Видно, что точка $(3, 0)$ принадлежит этому отрезку. Таким образом, $f(3)=0$.
Теперь найдем значение $g(0)$. По графику функции $y=g(x)$ находим точку с абсциссой $x=0$. Ордината этой точки равна $2$. Таким образом, $g(0)=2$.
Следовательно, $g(f(3)) = g(0) = 2$.

3. Найдем $f(g(-2\frac{1}{2}))$.
Сначала найдем значение $g(-2\frac{1}{2})$, то есть $g(-2.5)$. Точка с абсциссой $x=-2.5$ лежит на отрезке графика $y=g(x)$, соединяющем точки $(-4, 2)$ и $(-2, -2)$. Уравнение прямой, содержащей этот отрезок: $y-2 = \frac{-2-2}{-2-(-4)}(x-(-4))$, что упрощается до $y-2 = -2(x+4)$, или $y = -2x - 6$.
Подставим $x=-2.5$: $g(-2.5) = -2(-2.5) - 6 = 5 - 6 = -1$.
Теперь найдем значение $f(-1)$. Точка с абсциссой $x=-1$ лежит на отрезке графика $y=f(x)$, соединяющем точки $(-2, 2)$ и $(2, -1)$. Уравнение прямой, содержащей этот отрезок: $y-2 = \frac{-1-2}{2-(-2)}(x-(-2))$, что упрощается до $y-2 = -\frac{3}{4}(x+2)$, или $y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$.
Подставим $x=-1$: $f(-1) = -\frac{3}{4}(-1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$.
Следовательно, $f(g(-2\frac{1}{2})) = f(-1) = 1.25$.
Ответ: $f(g(2))=2$, $g(f(3))=2$, $f(g(-2\frac{1}{2}))=1.25$.

б)

Решим уравнение $f(g(x)) = 2$.
Пусть $u = g(x)$. Тогда уравнение примет вид $f(u)=2$.
Найдем все значения $u$, для которых $f(u)=2$. По графику функции $y=f(x)$ видим, что прямая $y=2$ пересекает график в точках, где абсциссы равны $u=-2$ и $u=5$.
Теперь вернемся к замене и решим два уравнения:
1. $g(x) = -2$. По графику функции $y=g(x)$ видим, что прямая $y=-2$ пересекает график в точках с абсциссами $x=-2$ и $x=2$.
2. $g(x) = 5$. По графику функции $y=g(x)$ видим, что максимальное значение функции равно $2$. Следовательно, уравнение $g(x)=5$ не имеет решений.
Объединяя решения, получаем $x=-2$ и $x=2$.
Ответ: $x \in \{-2; 2\}$.

в)

Решим уравнение $g(f(x)) = -1$.
Пусть $v = f(x)$. Тогда уравнение примет вид $g(v)=-1$.
Найдем все значения $v$, для которых $g(v)=-1$. Для этого рассмотрим четыре участка графика $y=g(x)$:
1. На отрезке $[-4, -2]$ уравнение прямой $y = -2x - 6$. Решаем $-1 = -2v - 6 \Rightarrow 2v = -5 \Rightarrow v=-2.5$.
2. На отрезке $[-2, 0]$ уравнение прямой $y = 2x + 2$. Решаем $-1 = 2v + 2 \Rightarrow 2v = -3 \Rightarrow v=-1.5$.
3. На отрезке $[0, 2]$ уравнение прямой $y = -2x + 2$. Решаем $-1 = -2v + 2 \Rightarrow 2v = 3 \Rightarrow v=1.5$.
4. На отрезке $[2, 4]$ уравнение прямой $y = 2x - 6$. Решаем $-1 = 2v - 6 \Rightarrow 2v = 5 \Rightarrow v=2.5$.
Таким образом, мы получили четыре возможных значения для $v$: $-2.5, -1.5, 1.5, 2.5$.
Теперь вернемся к замене $v = f(x)$. По графику функции $y=f(x)$ ее область значений $E(f) = [-1, 2]$. Это значит, что $f(x)$ может принимать значения только в этом промежутке.
Рассмотрим полученные значения $v$:
- $f(x) = -2.5$: нет решений, так как $-2.5 \notin [-1, 2]$.
- $f(x) = -1.5$: нет решений, так как $-1.5 \notin [-1, 2]$.
- $f(x) = 2.5$: нет решений, так как $2.5 \notin [-1, 2]$.
- $f(x) = 1.5$: есть решения, так как $1.5 \in [-1, 2]$.
Нам осталось решить уравнение $f(x) = 1.5$. Найдем, в каких точках прямая $y=1.5$ пересекает график $y=f(x)$. Это происходит на трех участках:
1. На отрезке $[-2, 2]$, где уравнение прямой $y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$. Решаем $1.5 = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4}x \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$.
2. На отрезке $[2, 5]$, где уравнение прямой $y = x - 3$. Решаем $1.5 = x - 3 \Rightarrow x = 4.5$.
3. На отрезке $[5, 7]$, где уравнение прямой $y = -x + 7$. Решаем $1.5 = -x + 7 \Rightarrow x = 5.5$.
Все найденные значения $x$ принадлежат соответствующим отрезкам и области определения функции $f(x)$.
Ответ: $x \in \{-\frac{4}{3}; 4.5; 5.5\}$.