Номер 1, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Предположим, в некотором учебном заведении стипендия назначается согласно следующей таблице:

(0;3,5] - 0

(3,5;4] - 10000

(4;4,5] - 20000

(4,5;5] - 40000

В верхней строчке – средний балл студента по итогам сдачи экзаменов последнего семестра, в нижней – размер соответствующей стипендии в тенге. В верхней строчке следующей таблицы – номера студентов по списку одной из учебных групп этого учебного заведения, в нижней – средний балл по итогам последней сессии.

1: 3,5, 2: 4, 3: 3,7, 4: 3,2, 5: 4,1, 6: 5, 7: 4,9, 8: 3

9: 3,3, 10: 4,75, 11: 4,5, 12: 3,6, 13: 4,5, 14: 4,9, 15: 3,1, 16: 5

Сколько студентов будут получать стипендию в размере 40000 тенге?

Сколько студентов будут получать стипендию от 10000 до 20000 тенге?

Рассмотрим две функции $f(x)=\sqrt{x}$ и $g(x)=3x+1$ на их естественных областях определения. Функция $g(x)$ числу 5 ставит в соответствие число 16, так как $g(5)=3 \cdot 5+1$. Функция $f(x)$ числу 16 ставит в соответствие число 4, так как $f(16)=\sqrt{16}=4$. В результате числу 5 поставлено в соответствие число 4 в два этапа: $5 \xrightarrow{g(x)} 16 \xrightarrow{f(x)} 4$.

Поскольку $16=g(5)$, то можно записать: $f(16)=f(g(5))=4$. Форма записи $f(g(5))=4$ хорошо отражает тот факт, что на число 5 сначала «подействовали» функцией $g$, а потом на то, что получилось, «подействовали» функцией $f(x)$. Аналогично, $f(g(10))=f(31)=\sqrt{31}$. Однако, например,

функция $g(x)$ числу $(-3)$ ставит в соответствие число $(-8)$, а функция $f(x)$ не имеет возможности числу $(-8)$ поставить в соответствие какое бы то ни было число, потому что $(-8)$ не входит в область ее определения. Разберемся, на какие числа можно «действовать» сначала функцией $g(x)$, а потом $f(x)$, а на какие нельзя. Так как функция $g(x)$ «превращает» число $x$ в число $3x+1$, а $f(x)$ – извлекает из них корень, то получаем условие $3x+1 \ge 0$ (корень извлекается только из неотрицательных чисел). Таким образом, мы понимаем, что если $x < -\frac{1}{3}$, то $g(x)$ мы посчитать сможем, а $f(g(x))$ – не сможем. Но для любого $x \ge -\frac{1}{3}$ мы сможем сначала вычислить число $g(x)$, а затем это число подставить в $f(x)$ и получить $f(g(x)) = \sqrt{g(x)}$. Получилась новая функция, которая каждому числу из множества $\left[-\frac{1}{3};+\infty\right)$

ставит в соответствие результат последовательного «применения» к нему двух функций: сначала $g(x)$, а затем $f(x)$. Если как-нибудь обозначить эту новую функцию, например $h(x)$, то $h(x)=f(g(x))$ и $D(h)=\left[-\frac{1}{3};+\infty\right)$. Кроме того, мы имеем возможность записать аналитическую формулу $h(x)=\sqrt{3x+1}$.

Функция $h(x)$ называется композицией функций, или суперпозицией функций, или сложной функцией.

Сколько студентов будут получать стипендию в размере 40000 тенге?

Для получения стипендии в размере 40000 тенге, согласно первой таблице, средний балл студента (GPA) должен находиться в промежутке $(4,5; 5]$. Это означает, что балл студента должен удовлетворять двойному неравенству $4,5 < \text{GPA} \le 5$.
Проанализируем данные о баллах студентов из второй таблицы, чтобы найти тех, кто соответствует этому критерию:
- Студент 6: средний балл 5,0. Условие $4,5 < 5,0 \le 5$ выполняется.
- Студент 7: средний балл 4,9. Условие $4,5 < 4,9 \le 5$ выполняется.
- Студент 10: средний балл 4,75. Условие $4,5 < 4,75 \le 5$ выполняется.
- Студент 14: средний балл 4,9. Условие $4,5 < 4,9 \le 5$ выполняется.
- Студент 16: средний балл 5,0. Условие $4,5 < 5,0 \le 5$ выполняется.
Таким образом, всего 5 студентов будут получать стипендию в размере 40000 тенге.
Ответ: 5

Сколько студентов будут получать стипендию от 10000 до 20000 тенге?

Стипендия «от 10000 до 20000 тенге» означает, что студент получает либо 10000 тенге, либо 20000 тенге. Согласно первой таблице, условия для назначения этих стипендий следующие:
- стипендия 10000 тенге назначается за средний балл в промежутке $(3,5; 4]$.
- стипендия 20000 тенге назначается за средний балл в промежутке $(4; 4,5]$.
Следовательно, нам необходимо найти общее количество студентов, чей средний балл (GPA) принадлежит объединению этих двух промежутков: $(3,5; 4] \cup (4; 4,5]$. Это объединение представляет собой единый промежуток $(3,5; 4,5]$. Таким образом, балл студента должен удовлетворять неравенству $3,5 < \text{GPA} \le 4,5$.
Проверим средние баллы студентов из второй таблицы на соответствие этому условию:
- Студент 2: средний балл 4,0. Условие $3,5 < 4,0 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 3: средний балл 3,7. Условие $3,5 < 3,7 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 5: средний балл 4,1. Условие $3,5 < 4,1 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 11: средний балл 4,5. Условие $3,5 < 4,5 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 12: средний балл 3,6. Условие $3,5 < 3,6 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 13: средний балл 4,5. Условие $3,5 < 4,5 \le 4,5$ выполняется.
Всего 6 студентов соответствуют этим критериям.
Ответ: 6