Номер 18, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (4)

Пусть $f(x)$ - функция, удовлетворяющая при всех $x$ равенству $f(x)=f(2-|x|)$. Докажите, что $f(x)$ - четная периодическая функция.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x)$ является четной и периодической, необходимо последовательно доказать оба этих свойства.

Доказательство четности

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим $f(-x)$. Согласно исходному равенству, которому функция $f(x)$ удовлетворяет при всех $x$, мы можем подставить $-x$ вместо $x$:

$f(-x) = f(2 - |-x|)$

По свойству модуля $|-x| = |x|$, поэтому равенство можно переписать в виде:

$f(-x) = f(2 - |x|)$

Из условия задачи мы знаем, что $f(x) = f(2 - |x|)$. Сравнивая два последних выражения, приходим к выводу:

$f(-x) = f(x)$

Это доказывает, что функция $f(x)$ является четной.

Доказательство периодичности

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Докажем, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=2$. Для этого нужно доказать, что $f(x+2)=f(x)$ для всех действительных $x$.

Разобьем доказательство на две части, рассмотрев два случая для $x$.

1. Сначала докажем, что $f(u+2) = f(u)$ для всех $u \ge -2$.

Возьмем $f(u+2)$. По исходному условию $f(u+2) = f(2 - |u+2|)$.

Поскольку $u \ge -2$, то $u+2 \ge 0$, и, следовательно, $|u+2| = u+2$.

Тогда равенство принимает вид:

$f(u+2) = f(2 - (u+2)) = f(2 - u - 2) = f(-u)$

Так как мы уже доказали, что функция $f(x)$ четная, то $f(-u) = f(u)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(u+2) = f(u)$ для всех $u \ge -2$.

2. Теперь докажем, что $f(x+2) = f(x)$ для $x < -2$.

Начнем с $f(x)$ и построим цепочку преобразований, используя доказанные свойства.

$f(x) = f(-x)$ (поскольку функция четная).

Так как $x < -2$, то $-x > 2$. Обозначим $y = -x$, тогда $y > 2$.

Рассмотрим $f(y)$. Так как $y > 2$, то $y-2 > 0$. Поскольку $0 > -2$, к аргументу $u = y-2$ можно применить свойство, доказанное в пункте 1: $f(u+2) = f(u)$.

$f((y-2)+2) = f(y-2)$, что означает $f(y) = f(y-2)$.

Подставляя $y=-x$ обратно, получаем: $f(-x) = f(-x-2)$.

Теперь снова применим свойство четности к правой части равенства:

$f(-x-2) = f(-(x+2)) = f(x+2)$

Собирая всю цепочку равенств, получаем: $f(x) = f(-x) = f(-x-2) = f(x+2)$.

Итак, равенство $f(x+2) = f(x)$ верно и для $x < -2$.

Объединяя оба случая, мы заключаем, что $f(x+2) = f(x)$ выполняется для всех действительных $x$. Следовательно, функция $f(x)$ является периодической.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $f(x)$, удовлетворяющая равенству $f(x) = f(2-|x|)$, является четной и периодической.