Номер 15, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (2) Изобразите график функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=2$ и на множестве $[0;2]$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=x^2-2x$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ необходимо сначала рассмотреть ее поведение на заданном отрезке $[0;2]$, а затем использовать свойство периодичности.

1. Анализ функции на отрезке $[0;2]$.

На отрезке $[0;2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 - 2x$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем ключевые точки этой параболы на указанном отрезке.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = f(x_v) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Эта точка принадлежит отрезку $[0;2]$.

Найдем значения функции на концах отрезка, которые также являются точками пересечения с осью абсцисс:
$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$.
$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.
Таким образом, на отрезке $[0;2]$ график функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0;0)$, опускается до вершины в точке $(1;-1)$ и поднимается до точки $(2;0)$.

2. Построение графика с учетом периодичности.

По условию, функция $f(x)$ имеет период $T=2$. Это означает, что $f(x+2) = f(x)$ для любого $x$. Следовательно, весь график функции получается путем повторения (копирования) построенной дуги параболы на всех смежных интервалах длиной 2.

Иными словами, график на интервале $[2;4]$ будет точной копией графика на интервале $[0;2]$, сдвинутой на 2 единицы вправо. Аналогично, график на интервале $[-2;0]$ будет копией, сдвинутой на 2 единицы влево, и так далее для всех интервалов вида $[2k, 2k+2]$, где $k$ - любое целое число.

В результате график будет состоять из бесконечного числа одинаковых параболических дуг. Вершины этих дуг будут находиться в точках с абсциссами $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$ и ординатой $-1$, то есть в точках вида $(1+2k; -1)$. График будет пересекать ось абсцисс во всех четных целых числах: $..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$, то есть в точках вида $(2k; 0)$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: График функции $y=f(x)$ является периодическим с периодом $T=2$ и представляет собой бесконечную последовательность одинаковых дуг параболы. На основном отрезке $[0;2]$ это дуга параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в точке $(1; -1)$ и концами в точках $(0;0)$ и $(2;0)$. Весь график получается путем параллельного переноса этой дуги вдоль оси $Ox$ на $2k$ единиц, где $k$ – любое целое число. График изображен на рисунке выше.