Номер 10, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3)

Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 6. При каждом $x$ из промежутка $(-2;4]$ значение функции $f(x)$ совпадает со значением функции $g(x)$ определенной:

$$g(x)=\begin{cases} x^2-1,& -2 < x \le 2 \\ 3,& 2 < x \le 4 \end{cases}$$

Найдите значение выражения $f(6)+f(10)-2f(8)$.

По условию, функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом $T=6$. Это означает, что для любого $x$ и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x+6k) = f(x)$. Мы будем использовать это свойство, чтобы найти значения функции для аргументов, которые не входят в основной промежуток определения $(-2; 4]$.

На промежутке $(-2; 4]$ значение функции $f(x)$ совпадает со значением функции $g(x)$, которая задана следующим образом:

$g(x) = \begin{cases} x^2-1, & \text{при } -2 < x \le 2 \\ 3, & \text{при } 2 < x \le 4 \end{cases}$

Чтобы найти значение выражения $f(6)+f(10)-2f(8)$, вычислим каждое значение функции по отдельности.

Найдем $f(6)$

Аргумент $x=6$ не входит в промежуток $(-2; 4]$. Воспользуемся периодичностью функции $f(x)$ с периодом $T=6$:

$f(6) = f(6-6) = f(0)$

Значение $x=0$ принадлежит промежутку $(-2; 2]$. Следовательно, $f(0) = g(0)$.

На этом промежутке $g(x) = x^2-1$, поэтому:

$f(0) = g(0) = 0^2 - 1 = -1$

Таким образом, $f(6) = -1$.

Найдем $f(10)$

Аргумент $x=10$ не входит в промежуток $(-2; 4]$. Воспользуемся периодичностью:

$f(10) = f(10-6) = f(4)$

Значение $x=4$ принадлежит промежутку $(2; 4]$. Следовательно, $f(4) = g(4)$.

На этом промежутке $g(x)=3$, поэтому:

$f(4) = g(4) = 3$

Таким образом, $f(10) = 3$.

Найдем $f(8)$

Аргумент $x=8$ не входит в промежуток $(-2; 4]$. Воспользуемся периодичностью:

$f(8) = f(8-6) = f(2)$

Значение $x=2$ принадлежит промежутку $(-2; 2]$. Следовательно, $f(2) = g(2)$.

На этом промежутке $g(x) = x^2-1$, поэтому:

$f(2) = g(2) = 2^2 - 1 = 4-1 = 3$

Таким образом, $f(8) = 3$.

Вычислим значение выражения

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$f(6)+f(10)-2f(8) = (-1) + 3 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4$

Ответ: $-4$