Номер 8, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (1) Известно, что $f(x)$ - периодическая функция. Обязательно ли следующие функции являются периодическими: $y=f^2(x)$, $y=f(x^2)$, $y=|f(x)|$, $y=g(f(x))$, где $g(x)$ - некоторая функция?

y=f²(x)

Пусть $f(x)$ является периодической функцией с периодом $T > 0$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y(x) = f^2(x)$. Чтобы проверить, является ли она периодической, найдем ее значение в точке $x+T$:

$y(x+T) = f^2(x+T) = (f(x+T))^2$

Так как $f(x)$ — периодическая функция, мы знаем, что $f(x+T) = f(x)$. Подставим это в наше выражение:

$y(x+T) = (f(x))^2 = f^2(x) = y(x)$

Равенство $y(x+T) = y(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения функции $f(x)$. Следовательно, функция $y=f^2(x)$ также является периодической. Ее период равен $T$ или может быть меньше (например, является делителем $T$), но наличие периода гарантировано.

Ответ: Да, обязательно.

y=f(x²)

Эта функция не обязательно является периодической. Для того чтобы функция $y(x) = f(x^2)$ была периодической с некоторым периодом $T' > 0$, должно выполняться условие $y(x+T') = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что $f((x+T')^2) = f(x^2)$.

Поскольку $f(x)$ периодична с периодом $T$, это равенство будет выполняться, если аргументы функции отличаются на целое число периодов: $(x+T')^2 = x^2 + nT$ для некоторого целого числа $n$.

Раскроем скобки: $x^2 + 2xT' + (T')^2 = x^2 + nT$. Отсюда $2xT' + (T')^2 = nT$.

Это равенство должно выполняться для всех $x$ при постоянном $T'$. Однако левая часть уравнения зависит от $x$, в то время как правая (при фиксированном $n$) — нет. Это невозможно, если $T' \neq 0$. Следовательно, в общем случае такая функция не является периодической.

Приведем контрпример. Пусть $f(x) = \cos(x)$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Рассмотрим функцию $y(x) = f(x^2) = \cos(x^2)$.

У периодической функции расстояния между однотипными точками (например, максимумами) должны быть постоянными. Максимумы функции $\cos(x^2)$ достигаются, когда $x^2 = 2k\pi$ ($k$ — целое неотрицательное число), то есть в точках $x_k = \sqrt{2k\pi}$.

Найдем расстояния между несколькими последовательными точками максимума (для $x \ge 0$):

$x_1 - x_0 = \sqrt{2\pi} - 0 = \sqrt{2\pi}$

$x_2 - x_1 = \sqrt{4\pi} - \sqrt{2\pi} = \sqrt{2\pi}(\sqrt{2}-1)$

$x_3 - x_2 = \sqrt{6\pi} - \sqrt{4\pi} = \sqrt{2\pi}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

Так как $\sqrt{2\pi} \neq \sqrt{2\pi}(\sqrt{2}-1) \neq \sqrt{2\pi}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, расстояния между максимумами не постоянны. Следовательно, функция $\cos(x^2)$ не является периодической.

Ответ: Нет, не обязательно.

y=|f(x)|

Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T > 0$, то есть $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y(x) = |f(x)|$. Проверим ее на периодичность с периодом $T$:

$y(x+T) = |f(x+T)|$

Используя свойство периодичности функции $f(x)$, заменяем $f(x+T)$ на $f(x)$:

$y(x+T) = |f(x)| = y(x)$

Равенство $y(x+T) = y(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения. Таким образом, функция $y=|f(x)|$ обязательно является периодической. Ее период может быть равен $T$ или меньше (например, для $f(x)=\sin(x)$ с периодом $2\pi$, функция $y=|\sin(x)|$ имеет период $\pi$).

Ответ: Да, обязательно.

y=g(f(x)), где g(x) - некоторая функция

Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T > 0$, так что $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим сложную функцию $y(x) = g(f(x))$, где $g(x)$ — произвольная функция. Область определения $y(x)$ состоит из тех $x$, для которых определена функция $f(x)$, и значение $f(x)$ входит в область определения функции $g(x)$.

Проверим значение функции в точке $x+T$:

$y(x+T) = g(f(x+T))$

Поскольку $f(x)$ периодична, $f(x+T) = f(x)$. Подставим это в выражение:

$y(x+T) = g(f(x)) = y(x)$

Это равенство справедливо для всех $x$ из области определения функции $y(x)$. Следовательно, композиция функций $y=g(f(x))$ является периодической с периодом $T$ (или меньшим). Это верно для любой функции $g(x)$.

Ответ: Да, обязательно.