Номер 5, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2) Нечетная функция $f(x)$ имеет период $T=4$ и на множестве $[-2;0]$ задается формулой $f(x)=x^2+2x$. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ воспользуемся ее свойствами: нечетностью, периодичностью и определением на заданном отрезке.

1. Построение на отрезке $[-2; 0]$

На отрезке $[-2; 0]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки на этом отрезке.

Вершина параболы: абсцисса вершины $x_0 = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$. Ордината вершины $y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Координаты вершины $(-1; -1)$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 0]$.

Значения на концах отрезка:

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

$f(0) = 0^2 + 2(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

Таким образом, на отрезке $[-2; 0]$ график представляет собой дугу параболы, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$, с минимумом в точке $(-1; -1)$.

2. Построение на отрезке $[0; 2]$ с использованием свойства нечетности

Функция $f(x)$ нечетная, что означает $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Используем это свойство, чтобы построить график на отрезке $[0; 2]$, симметричном отрезку $[-2; 0]$ относительно точки $(0; 0)$.

Отразим ключевые точки из первого шага относительно начала координат:

Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(2; 0)$.

Точка $(-1; -1)$ переходит в точку $(1; 1)$.

Точка $(0; 0)$ переходит в саму себя.

Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ график представляет собой дугу, проходящую через точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$, с максимумом в точке $(1; 1)$. Эта дуга является частью параболы $y = -x^2+2x$.

Объединив графики на отрезках $[-2; 0]$ и $[0; 2]$, мы получаем фрагмент графика на отрезке $[-2; 2]$ длиной 4.

3. Построение на всей числовой оси с использованием свойства периодичности

Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это значит, что $f(x+4) = f(x)$ для любого $x$.

Построенный на предыдущем шаге фрагмент графика на отрезке $[-2; 2]$ является одним периодом функции. Чтобы получить полный график, нужно этот фрагмент скопировать и сдвинуть влево и вправо вдоль оси $Ox$ на расстояния, кратные периоду $T=4$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой периодическую кривую. Один период графика на отрезке $[-2; 2]$ состоит из двух дуг парабол. На отрезке $[-2; 0]$ это дуга параболы $y=x^2+2x$ с минимумом в точке $(-1; -1)$, соединяющая точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$. На отрезке $[0; 2]$ это дуга параболы $y=-x^2+2x$ с максимумом в точке $(1; 1)$, соединяющая точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$. Этот узор повторяется вдоль всей оси $x$ с периодом 4. Например, нули функции находятся в точках $x=2k$ для любого целого $k$. Локальные минимумы равны -1 и достигаются в точках $x = -1 + 4k$, а локальные максимумы равны 1 и достигаются в точках $x = 1 + 4k$, где $k$ – любое целое число.