Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1)

Периодическая функция $f(x)$ такова, что $f(1)=-3$, $T=4$ - период функции. Найдите $f(5)$, $f(81)$, $f(-7)$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + nT) = f(x)$, где $T$ - период функции. Из условия задачи известно, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$ и нам дано значение $f(1) = -3$. Мы будем использовать это свойство, чтобы найти значения функции в других точках. Общая идея состоит в том, чтобы представить аргумент каждой искомой функции в виде $1 + n \cdot 4$, где $n$ - некоторое целое число.

f(5)
Представим аргумент $5$ в виде $1 + n \cdot T$.
$5 = 1 + 1 \cdot 4$. В этом случае коэффициент $n=1$, что является целым числом.
Следовательно, мы можем применить свойство периодичности:
$f(5) = f(1 + 1 \cdot 4) = f(1)$.
Так как $f(1) = -3$, то $f(5) = -3$.
Ответ: -3

f(81)
Представим аргумент $81$ в виде $1 + n \cdot T$.
$81 = 1 + n \cdot 4$.
Найдем $n$:
$81 - 1 = n \cdot 4$
$80 = n \cdot 4$
$n = \frac{80}{4} = 20$.
Поскольку $n=20$ является целым числом, мы можем записать:
$f(81) = f(1 + 20 \cdot 4) = f(1)$.
Так как $f(1) = -3$, то $f(81) = -3$.
Ответ: -3

f(-7)
Представим аргумент $-7$ в виде $1 + n \cdot T$.
$-7 = 1 + n \cdot 4$.
Найдем $n$:
$-7 - 1 = n \cdot 4$
$-8 = n \cdot 4$
$n = \frac{-8}{4} = -2$.
Поскольку $n=-2$ является целым числом, мы можем записать:
$f(-7) = f(1 + (-2) \cdot 4) = f(1)$.
Так как $f(1) = -3$, то $f(-7) = -3$.
Ответ: -3

2. (2) Функция $g(x)$ четная и имеет период $T=6$, на множестве $x \in [-2;0)$ имеет место равенство $g(x)=-2x+1$. Найдите $g(100)$, $g(98)$, $g(103)$.

По условию, функция $g(x)$ является четной и периодической.
1. Свойство четности: $g(x) = g(-x)$ для любого $x$ из области определения.
2. Свойство периодичности: $g(x) = g(x + 6k)$ для любого целого числа $k$, так как период $T=6$.

Нам дано, что на множестве $x \in [-2; 0]$ функция задана формулой $g(x) = -2x + 1$. Используя свойство четности, мы можем определить вид функции на симметричном множестве $x \in [0; 2]$. Если $x \in [0; 2]$, то $-x \in [-2; 0]$. Тогда, по определению четной функции: $g(x) = g(-x) = -2(-x) + 1 = 2x + 1$.

Таким образом, для вычислений мы можем использовать значения функции на отрезке $[-2; 2]$:
При $x \in [-2; 0]$, $g(x) = -2x + 1$.
При $x \in [0; 2]$, $g(x) = 2x + 1$.

g(100)

Чтобы найти значение $g(100)$, воспользуемся свойством периодичности. Найдем такой аргумент $x_0 = 100 - 6k$, который будет лежать в отрезке $[-2; 2]$. Для этого найдем остаток от деления $100$ на $6$: $100 = 16 \cdot 6 + 4$. Следовательно, $g(100) = g(16 \cdot 6 + 4) = g(4)$. Аргумент $4$ не входит в отрезок $[-2; 2]$, поэтому применим свойство периодичности еще раз: $g(4) = g(4 - 6) = g(-2)$. Теперь аргумент $x = -2$ принадлежит отрезку $[-2; 0]$. Используем заданную формулу $g(x) = -2x + 1$: $g(-2) = -2(-2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

g(98)

Аналогично найдем значение $g(98)$. Найдем остаток от деления $98$ на $6$: $98 = 16 \cdot 6 + 2$. Следовательно, $g(98) = g(16 \cdot 6 + 2) = g(2)$. Аргумент $x = 2$ принадлежит отрезку $[0; 2]$. Используем выведенную нами формулу $g(x) = 2x + 1$: $g(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

g(103)

Найдем значение $g(103)$. Найдем остаток от деления $103$ на $6$: $103 = 17 \cdot 6 + 1$. Следовательно, $g(103) = g(17 \cdot 6 + 1) = g(1)$. Аргумент $x = 1$ принадлежит отрезку $[0; 2]$. Используем формулу $g(x) = 2x + 1$: $g(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$.
Ответ: 3.

3. (1)

Изобразите график четной функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=4$, и на множестве $[-2;0]$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=x+2$.

3. (1)

Для построения графика функции $y = f(x)$ воспользуемся последовательно всеми заданными условиями: определением функции на отрезке, ее четностью и периодичностью.

Шаг 1: Построение графика на отрезке $[-2; 0]$

По условию, на множестве $[-2; 0]$ функция задается формулой $f(x) = x + 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов. При $x = -2$ значение функции $f(-2) = -2 + 2 = 0$, что соответствует точке $(-2; 0)$. При $x = 0$ значение функции $f(0) = 0 + 2 = 2$, что соответствует точке $(0; 2)$. Соединив эти две точки, получаем график функции на отрезке $[-2; 0]$.

Шаг 2: Использование свойства четности

Функция $f(x)$ является четной, что означает выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Используя это свойство, мы можем построить график на отрезке $[0; 2]$, который симметричен отрезку $[-2; 0]$. Отрезок, соединяющий точки $(-2; 0)$ и $(0; 2)$, при симметричном отражении относительно оси $Oy$ перейдет в отрезок, соединяющий точки $(2; 0)$ и $(0; 2)$. Таким образом, на отрезке $[0; 2]$ функция задается формулой $f(x) = -x + 2$. Объединив графики на отрезках $[-2; 0]$ и $[0; 2]$, мы получаем основной фрагмент графика на отрезке $[-2; 2]$. Он имеет форму треугольника с вершиной в точке $(0; 2)$ и основанием на оси $Ox$ от $x = -2$ до $x = 2$. Длина этого отрезка $2 - (-2) = 4$, что соответствует периоду функции.

Шаг 3: Использование свойства периодичности

Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что $f(x+4) = f(x)$, и ее график повторяется через каждые 4 единицы вдоль оси $Ox$. Чтобы получить полный график функции, нужно "размножить" построенный на отрезке $[-2; 2]$ фрагмент влево и вправо с шагом, равным периоду $T=4$. Например, сдвинув фрагмент с $[-2; 2]$ на 4 единицы вправо, получим такой же "треугольник" на отрезке $[2; 6]$ с вершиной в точке $(4; 2)$. Аналогично, сдвигая фрагмент на 4 единицы влево, мы получим график на отрезке $[-6; -2]$ с вершиной в точке $(-4; 2)$, и так далее.

Итоговый вид графика

График функции $y=f(x)$ представляет собой бесконечную ломаную линию, состоящую из одинаковых "треугольников". Вершины (максимумы) этой ломаной находятся в точках с координатами $(4k; 2)$, где $k$ — любое целое число (..., $(-4; 2)$, $(0; 2)$, $(4; 2)$, ...). График пересекает ось абсцисс (нули функции) в точках с координатами $(2 + 4k; 0)$, где $k$ — любое целое число (..., $(-2; 0)$, $(2; 0)$, $(6; 0)$, ...).

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из повторяющихся "треугольных" фрагментов. На основном периоде $[-2; 2]$ график состоит из двух отрезков: отрезка, соединяющего точки $(-2; 0)$ и $(0; 2)$, и отрезка, соединяющего точки $(0; 2)$ и $(2; 0)$. Этот фрагмент, имеющий форму треугольника с вершиной в $(0;2)$, затем периодически повторяется по всей оси $Ox$ с периодом $T=4$.

4. (2)

Изобразите график функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=2$ и на множестве $(0;2]$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=\frac{4}{x}$.

Для построения графика периодической функции $y=f(x)$ с периодом $T=2$, которая на множестве $(0; 2]$ задается формулой $f(x)=\frac{4}{x}$, необходимо сначала построить ее график на этом основном промежутке, а затем продолжить его на всю числовую ось, используя свойство периодичности.

1. Построение графика на промежутке $(0; 2]$

На промежутке $(0; 2]$ мы имеем дело с функцией $f(x) = \frac{4}{x}$. Это стандартная обратная пропорциональность (гипербола), ветвь которой расположена в первой координатной четверти.

Определим ключевые особенности графика на этом отрезке:

- Поведение на левой границе: при $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0+$), значение функции $f(x)=\frac{4}{x}$ стремится к положительной бесконечности ($+\infty$). Следовательно, ось ординат (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика. Сама точка $x=0$ не входит в промежуток.

- Значение на правой границе: в точке $x=2$ функция определена и ее значение равно $f(2) = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, точка $(2; 2)$ принадлежит графику. На графике эта точка будет изображена закрашенной.

- Промежуточные точки: для более точного построения найдем еще одну точку. Например, при $x=1$, $f(1) = \frac{4}{1} = 4$. Точка $(1; 4)$ также принадлежит графику.

Итак, на промежутке $(0; 2]$ график представляет собой плавно убывающую кривую (часть гиперболы), которая начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ и заканчивается в точке $(2; 2)$.

2. Построение всего графика с учетом периодичности

Период функции равен $T=2$. Это означает, что вид графика повторяется через каждые 2 единицы по оси $Ox$. Математически это свойство записывается как $f(x+2n) = f(x)$ для любого целого числа $n$.

Чтобы получить полный график, мы должны "размножить" построенный на $(0; 2]$ фрагмент, сдвигая его влево и вправо на расстояния, кратные периоду $2$:

- На промежутке $(2; 4]$ график будет выглядеть так же, как и на $(0; 2]$, но сдвинутым на 2 единицы вправо. Вертикальной асимптотой будет прямая $x=2$, а заканчиваться этот фрагмент будет в точке $(4; 2)$.

- На промежутке $(-2; 0]$ график будет сдвинут на 2 единицы влево. Вертикальной асимптотой будет прямая $x=-2$, а заканчиваться фрагмент будет в точке $(0; 2)$.

Этот процесс продолжается бесконечно в обе стороны.

В результате мы получаем график, состоящий из бесконечного числа идентичных кривых. Вертикальные асимптоты будут находиться в точках $x=2n$ для всех целых $n$ (например, $..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$). Правые концы каждого фрагмента, точки вида $(2(n+1), 2)$, будут закрашенными точками на графике. Например, точка $(2, 2)$ является концом фрагмента на $(0, 2]$, точка $(0, 2)$ — концом фрагмента на $(-2, 0]$ и так далее.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой бесконечную последовательность одинаковых фрагментов ветвей гиперболы. На каждом интервале вида $(2n, 2n+2]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число), график является копией графика функции $y=\frac{4}{x}$ на интервале $(0, 2]$, сдвинутой вдоль оси абсцисс на $2n$. Прямые вида $x=2n$ являются вертикальными асимптотами. Точки вида $(2k, 2)$ для всех целых $k$ принадлежат графику, являясь правыми конечными точками каждого периодического фрагмента.

5. (2) Нечетная функция $f(x)$ имеет период $T=4$ и на множестве $[-2;0]$ задается формулой $f(x)=x^2+2x$. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ воспользуемся ее свойствами: нечетностью, периодичностью и определением на заданном отрезке.

1. Построение на отрезке $[-2; 0]$

На отрезке $[-2; 0]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки на этом отрезке.

Вершина параболы: абсцисса вершины $x_0 = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$. Ордината вершины $y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Координаты вершины $(-1; -1)$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 0]$.

Значения на концах отрезка:

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

$f(0) = 0^2 + 2(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

Таким образом, на отрезке $[-2; 0]$ график представляет собой дугу параболы, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$, с минимумом в точке $(-1; -1)$.

2. Построение на отрезке $[0; 2]$ с использованием свойства нечетности

Функция $f(x)$ нечетная, что означает $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Используем это свойство, чтобы построить график на отрезке $[0; 2]$, симметричном отрезку $[-2; 0]$ относительно точки $(0; 0)$.

Отразим ключевые точки из первого шага относительно начала координат:

Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(2; 0)$.

Точка $(-1; -1)$ переходит в точку $(1; 1)$.

Точка $(0; 0)$ переходит в саму себя.

Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ график представляет собой дугу, проходящую через точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$, с максимумом в точке $(1; 1)$. Эта дуга является частью параболы $y = -x^2+2x$.

Объединив графики на отрезках $[-2; 0]$ и $[0; 2]$, мы получаем фрагмент графика на отрезке $[-2; 2]$ длиной 4.

3. Построение на всей числовой оси с использованием свойства периодичности

Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это значит, что $f(x+4) = f(x)$ для любого $x$.

Построенный на предыдущем шаге фрагмент графика на отрезке $[-2; 2]$ является одним периодом функции. Чтобы получить полный график, нужно этот фрагмент скопировать и сдвинуть влево и вправо вдоль оси $Ox$ на расстояния, кратные периоду $T=4$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой периодическую кривую. Один период графика на отрезке $[-2; 2]$ состоит из двух дуг парабол. На отрезке $[-2; 0]$ это дуга параболы $y=x^2+2x$ с минимумом в точке $(-1; -1)$, соединяющая точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$. На отрезке $[0; 2]$ это дуга параболы $y=-x^2+2x$ с максимумом в точке $(1; 1)$, соединяющая точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$. Этот узор повторяется вдоль всей оси $x$ с периодом 4. Например, нули функции находятся в точках $x=2k$ для любого целого $k$. Локальные минимумы равны -1 и достигаются в точках $x = -1 + 4k$, а локальные максимумы равны 1 и достигаются в точках $x = 1 + 4k$, где $k$ – любое целое число.

6. (2) Четная функция $f(x)$ имеет период $T=4$ и на множестве $[-2;0]$ задается формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $f(x)$ воспользуемся ее свойствами: четностью, периодичностью и определением на заданном множестве.

1. Построение графика на интервале $[-2; 0]$

На отрезке $[-2; 0]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Координата $x_в = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 0]$.

Найдем значение функции в вершине:

$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; -1)$.

Найдем значения функции на концах отрезка $[-2; 0]$:

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$.

$f(0) = 0^2 + 2(0) = 0$.

Итак, на отрезке $[-2; 0]$ график функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$, с вершиной в точке $(-1; -1)$.

2. Использование свойства четности функции

Функция $f(x)$ является четной, что означает $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Используя это свойство, мы можем построить график на отрезке $[0; 2]$, симметрично отразив построенный участок с отрезка $[-2; 0]$ относительно оси $Oy$.

Точка $(-2; 0)$ перейдет в точку $(2; 0)$.

Точка $(-1; -1)$ перейдет в точку $(1; -1)$.

Точка $(0; 0)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Таким образом, на отрезке $[0; 2]$ график функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$, с минимумом в точке $(1; -1)$.

Мы получили график функции на отрезке $[-2; 2]$. Длина этого отрезка равна $2 - (-2) = 4$, что совпадает с периодом функции.

3. Использование свойства периодичности функции

Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=4$. Это означает, что $f(x+4) = f(x)$ для любого $x$.

Чтобы получить полный график функции, нужно построенный на отрезке $[-2; 2]$ фрагмент повторить вдоль всей оси $Ox$ с шагом, равным периоду $T=4$. То есть, мы сдвигаем этот фрагмент влево и вправо на $4, 8, 12, \dots$ единиц.

Например, на отрезке $[2; 6]$ график будет выглядеть так же, как и на отрезке $[-2; 2]$.

4. Изображение итогового графика

Объединяя все шаги, получаем итоговый график функции $y=f(x)$. Он представляет собой бесконечно повторяющуюся последовательность "W-образных" кривых.

Ответ: График функции $f(x)$ построен на основании анализа ее свойств и представляет собой периодически повторяющийся на всей числовой оси фрагмент, который на отрезке $[-2; 2]$ состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ участков парабол. Ключевые точки одного периода, например на $[-2; 2]$, включают: нули функции в точках $x=-2$ и $x=2$, локальный максимум в точке $(0; 0)$ и локальные минимумы в точках $(-1; -1)$ и $(1; -1)$. Изображение графика представлено выше.