Страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

28. (1) Известно, что $f(x)$ - нечетная функция, $D(f)=\mathbb{R}$, $f(-5)=20$. Чему равно значение функции в точке $x=5$?

(1) По определению, функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

В условии задачи сказано, что функция $f(x)$ является нечетной и ее область определения — все действительные числа ($D(f)=R$). Также дано значение функции в точке $x=-5$: $f(-5)=20$.

Мы хотим найти значение функции в точке $x=5$, то есть $f(5)$.

Используем свойство нечетной функции для $x=5$:

$f(-5) = -f(5)$

Теперь подставим известное значение $f(-5)=20$ в это равенство:

$20 = -f(5)$

Чтобы выразить $f(5)$, умножим обе части уравнения на -1:

$f(5) = -20$

Следовательно, значение функции в точке $x=5$ равно -20.

Ответ: -20

Нечетная функция $f(x)$ задана на множестве $[-6;6]$. Уравнение $f(x)=7$ имеет 3 корня на промежутке $x \in (0;6)$. Сколько корней имеет уравнение $f(x)=-7$ на промежутке $x \in (-6;0]$?

По определению, нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из ее области определения.

По условию, уравнение $f(x) = 7$ имеет 3 корня на промежутке $x \in (0; 6]$. Обозначим эти корни как $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Таким образом, для каждого из этих корней выполняются условия:

$f(x_1) = 7$, $f(x_2) = 7$, $f(x_3) = 7$,

и

$0 < x_1 \le 6$, $0 < x_2 \le 6$, $0 < x_3 \le 6$.

Рассмотрим уравнение $f(x) = -7$ на промежутке $x \in [-6; 0)$.

Для каждого корня $x_i$ (где $i=1, 2, 3$) рассмотрим значение функции в точке $-x_i$.

Используя свойство нечетности функции, получаем:

$f(-x_i) = -f(x_i) = -7$.

Это означает, что числа $-x_1$, $-x_2$ и $-x_3$ являются корнями уравнения $f(x) = -7$.

Теперь определим, на каком промежутке лежат эти новые корни. Так как $0 < x_i \le 6$, то, умножив это неравенство на $-1$, получим:

$-6 \le -x_i < 0$.

Этот промежуток полностью соответствует промежутку $x \in [-6; 0)$, указанному в вопросе.

Поскольку исходные корни $x_1, x_2, x_3$ различны, то и корни $-x_1, -x_2, -x_3$ также будут различны. Таким образом, мы нашли 3 различных корня уравнения $f(x) = -7$ на промежутке $x \in [-6; 0)$.

Не может быть других корней, так как если бы существовал еще один корень $x_4$ на промежутке $[-6; 0)$, то для него выполнялось бы $f(x_4) = -7$. Тогда для точки $-x_4$ (которая попадает в промежуток $(0; 6]$) выполнялось бы равенство $f(-x_4) = -f(x_4) = -(-7) = 7$, что противоречит условию о том, что на промежутке $(0; 6]$ существует ровно 3 корня.

Следовательно, количество корней уравнения $f(x) = -7$ на промежутке $x \in [-6; 0)$ равно количеству корней уравнения $f(x) = 7$ на промежутке $x \in (0; 6]$.

Ответ: 3.

30. (3) Функция $f(x)$ является нечетной; известно, что $f(x)=x^2-2x$ при $x \geq 0$. Постройте график $y=f(x)$. Исследуйте функцию.

По условию, функция $f(x)$ является нечетной, что означает выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Также известно, что при $x \ge 0$, функция задается формулой $f(x) = x^2 - 2x$.

Найдем вид функции для $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Для значения $-x$ мы можем использовать данную формулу:

$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.

Используя свойство нечетности $f(x) = -f(-x)$, получаем:

$f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$ при $x < 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Построение графика y = f(x)

График функции состоит из двух частей.

1. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$. Ветви этой параболы направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$; $y_0 = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1; -1)$. Нули функции на этом промежутке: $x(x-2)=0$, т.е. $x=0$ и $x=2$.

2. При $x < 0$ график совпадает с графиком параболы $y = -x^2 - 2x$. Ветви этой параболы направлены вниз. Координаты вершины: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot (-1)) = -1$; $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) = -1+2 = 1$. Вершина находится в точке $(-1; 1)$. Нули функции на этом промежутке: $-x(x+2)=0$, т.е. $x=0$ (не входит в интервал) и $x=-2$.

График функции симметричен относительно начала координат, что соответствует свойству нечетной функции.

Исследование функции

1. Область определения

Функция задана для всех $x \ge 0$ и для всех $x < 0$, следовательно, она определена на всей числовой прямой.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений

При $x \to +\infty$, $f(x) = x^2 - 2x \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $f(x) = -x^2 - 2x \to -\infty$. Так как функция непрерывна, она принимает все промежуточные значения. Локальный максимум равен 1, локальный минимум равен -1. Таким образом, функция принимает все действительные значения.
Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность, нечетность

По условию задачи, функция является нечетной. Проверка подтверждает это: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$ для $x \le 0$ и $f(x) = -x^2-2x$ для $x<0$. Мы видим, что $f(-x) = -(-x^2+2x)$ и $f(x) = -x^2-2x$, что не совпадает. Проведем проверку аккуратнее: пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. $f(-x) = -(-x)^2 - 2(-x) = -x^2 + 2x = -(x^2-2x) = -f(x)$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x = -(-x^2 - 2x) = -f(x)$. Свойство выполняется.
Ответ: Функция является нечетной.

4. Непрерывность

На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ функция непрерывна, так как она задана многочленами. Проверим непрерывность в точке $x=0$.
$f(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2 - 2x) = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2x) = 0$.
Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=0$.
Ответ: Функция непрерывна на всей области определения.

5. Нули функции

Найдем точки, в которых $f(x) = 0$.
При $x \ge 0$: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=2$.
При $x < 0$: $-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x+2)=0 \Rightarrow x=0$ (не входит в интервал) или $x=-2$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

6. Промежутки знакопостоянства

Определим знаки функции на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции.
- На $(-\infty; -2)$: $f(-3) = -(-3)^2 - 2(-3) = -9 + 6 = -3 < 0$.
- На $(-2; 0)$: $f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 > 0$.
- На $(0; 2)$: $f(1) = 1^2 - 2(1) = -1 < 0$.
- На $(2; +\infty)$: $f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 > 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

7. Промежутки монотонности

Найдем производную функции:
$f'(x) = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x > 0 \\ -2x - 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
При $x > 0$: $2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
При $x < 0$: $-2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$.
Проверим знаки производной на интервалах:
- На $(-\infty; -1)$: $f'(-2) = -2(-2)-2 = 2 > 0$, функция возрастает.
- На $(-1; 0)$: $f'(-0.5) = -2(-0.5)-2 = -1 < 0$, функция убывает.
- На $(0; 1)$: $f'(0.5) = 2(0.5)-2 = -1 < 0$, функция убывает.
- На $(1; +\infty)$: $f'(2) = 2(2)-2 = 2 > 0$, функция возрастает.
Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутке $[-1; 1]$.

8. Точки экстремума

В точке $x = -1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = 1$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$.
Ответ: $x_{max} = -1$ - точка локального максимума, $f(-1) = 1$; $x_{min} = 1$ - точка локального минимума, $f(1) = -1$.

31.(3)

Функция $f(x)$ является нечетной, известно, что $f(x)=-x+5$ при $x<0$.

Постройте график $y=f(x)$. Исследуйте функцию.

Постройте график y = f(x).

По условию, функция $f(x)$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Нам известно, что при $x < 0$ функция задается формулой $f(x) = -x + 5$.

Чтобы найти вид функции при $x > 0$, воспользуемся свойством нечетности. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Для такого значения аргумента мы можем использовать заданную формулу:

$f(-x) = -(-x) + 5 = x + 5$.

Теперь из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$ получаем:

$f(x) = -(x + 5) = -x - 5$ при $x > 0$.

Для точки $x=0$, если она входит в область определения, из свойства нечетности следует: $f(0) = -f(-0)$, что равносильно $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0) = 0$ и $f(0) = 0$.

Таким образом, мы получили полное аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} -x + 5, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -x - 5, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график линейной функции $y = -x + 5$. Это луч, проходящий, например, через точки $(-2, 7)$ и $(-5, 10)$. При приближении $x$ к $0$ слева, значение $y$ стремится к 5, поэтому на оси ординат будет выколотая точка $(0, 5)$.

2. В точке $x=0$ значение функции $y=0$. Отмечаем точку в начале координат $(0, 0)$.

3. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график линейной функции $y = -x - 5$. Это луч, проходящий, например, через точки $(2, -7)$ и $(5, -10)$. При приближении $x$ к $0$ справа, значение $y$ стремится к -5, поэтому на оси ординат будет выколотая точка $(0, -5)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ состоит из луча прямой $y = -x + 5$ для $x \in (-\infty, 0)$ с выколотой точкой $(0, 5)$, точки $(0, 0)$ в начале координат, и луча прямой $y = -x - 5$ для $x \in (0, +\infty)$ с выколотой точкой $(0, -5)$.

Исследуйте функцию.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: При $x < 0$ значения функции $y = -x + 5$ больше 5. При $x > 0$ значения функции $y = -x - 5$ меньше -5. При $x=0$ значение $y=0$. Таким образом, $E(f) = (-\infty; -5) \cup \{0\} \cup (5; +\infty)$.

3. Четность: Функция является нечетной по условию. $f(-x) = -f(x)$.

4. Нули функции: $f(x)=0$ только в одной точке $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

6. Монотонность: На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) = (-x+5)' = -1 < 0$. На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = (-x-5)' = -1 < 0$. Так как $f(x_1) > f(x_2)$ для любых $x_1 < x_2$ из области определения, функция является строго убывающей на всей своей области определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

7. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x=0$ она имеет разрыв первого рода (скачок), так как односторонние пределы не равны: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 5$, а $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -5$.

8. Экстремумы: Так как функция является монотонно убывающей на всей области определения, у нее нет точек локального максимума или минимума.

Ответ:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; -5) \cup \{0\} \cup (5; +\infty)$.
3. Четность: нечетная.
4. Нули функции: $x = 0$.
5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
6. Монотонность: функция строго убывает на всей области определения.
7. Непрерывность: непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, в точке $x=0$ разрыв первого рода.
8. Экстремумы: отсутствуют.

32. (2) При каких значениях параметра а функция $f(x)=ax+b$ является четной?

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Область определения для линейной функции $f(x) = ax + b$ — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), которое является симметричным относительно начала координат. Следовательно, первое условие четности выполнено.

Теперь необходимо проверить выполнение второго условия: $f(-x) = f(x)$.

Найдем выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходную функцию:
$f(-x) = a(-x) + b = -ax + b$.

Приравняем выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:
$f(x) = f(-x)$
$ax + b = -ax + b$.

Решим полученное уравнение относительно параметра $a$. Вычтем $b$ из обеих частей уравнения:
$ax = -ax$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$ax + ax = 0$
$2ax = 0$.

Данное равенство должно выполняться для абсолютно любого значения $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при переменной $x$ равен нулю, то есть $2a = 0$.

Отсюда находим значение параметра $a$:
$a = 0$.

При $a = 0$ функция принимает вид $f(x) = 0 \cdot x + b = b$. Это постоянная функция, график которой — прямая, параллельная оси абсцисс. Такая функция симметрична относительно оси ординат и, следовательно, является четной при любом значении параметра $b$.

Ответ: $a=0$.

33. (4) Вычислите $f(-3)$, если известно, что $f(3)=2$, и функция $g(x) = f(x) + x^2$ является нечетной?

По условию задачи, функция $g(x) = f(x) + x^2$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$.

Давайте распишем левую и правую части этого равенства, используя определение функции $g(x)$.

Левая часть:

$g(-x) = f(-x) + (-x)^2 = f(-x) + x^2$

Правая часть:

$-g(x) = -(f(x) + x^2) = -f(x) - x^2$

Теперь приравняем полученные выражения:

$f(-x) + x^2 = -f(x) - x^2$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить связь между $f(x)$ и $f(-x)$:

$f(-x) + f(x) = -x^2 - x^2$

$f(-x) + f(x) = -2x^2$

Мы получили общее соотношение, которое справедливо для любого $x$. Нам нужно вычислить $f(-3)$. Для этого подставим в полученное равенство $x = 3$:

$f(-3) + f(3) = -2 \cdot (3)^2$

Из условия задачи мы знаем, что $f(3) = 2$. Подставим это значение в уравнение:

$f(-3) + 2 = -2 \cdot 9$

$f(-3) + 2 = -18$

Теперь найдем $f(-3)$:

$f(-3) = -18 - 2$

$f(-3) = -20$

Ответ: -20

34. Пусть даны четная функция $f(x)$ и нечетная $g(x)$. Каким функциями являются $h(x)=f(x)-g(x)$, $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$?

Для решения задачи воспользуемся определениями четной и нечетной функций.
Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $g(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$.

h(x) = f(x) - g(x)
Чтобы определить, является ли функция $h(x)$ четной или нечетной, найдем значение $h(-x)$.
$h(-x) = f(-x) - g(-x)$
По условию $f(x)$ — четная, значит $f(-x) = f(x)$.
Функция $g(x)$ — нечетная, значит $g(-x) = -g(x)$.
Подставим эти соотношения в выражение для $h(-x)$:
$h(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x)$
Теперь сравним $h(-x)$ с $h(x)$ и $-h(x)$:
1. Проверим на четность: $h(-x) = h(x)$?
$f(x) + g(x) = f(x) - g(x)$
$2g(x) = 0$, что верно только если $g(x) = 0$. В общем случае это не так.
2. Проверим на нечетность: $h(-x) = -h(x)$?
$f(x) + g(x) = -(f(x) - g(x)) = -f(x) + g(x)$
$2f(x) = 0$, что верно только если $f(x) = 0$. В общем случае это не так.
Поскольку ни одно из условий четности или нечетности не выполняется в общем виде, функция $h(x)$ является функцией общего вида.
Ответ: функция $h(x)$ является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

s(x) = f(x)/g(x)
Чтобы определить, является ли функция $s(x)$ четной или нечетной, найдем значение $s(-x)$.
$s(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$
Используем свойства четности $f(x)$ и нечетности $g(x)$:
$f(-x) = f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Подставим эти выражения в формулу для $s(-x)$:
$s(-x) = \frac{f(x)}{-g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)}$
Так как $s(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, мы получили, что $s(-x) = -s(x)$.
Это равенство является определением нечетной функции.
Ответ: функция $s(x)$ является нечетной.

35. (4) Вычислите $f(4)$, если известно, что $f(-4)=9$ и функция $g(x)=f(x)(x+1)$ является четной?

По условию задачи, функция $g(x) = f(x)(x+1)$ является четной. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $g(x) = g(-x)$.

Выразим $g(x)$ и $g(-x)$ через функцию $f(x)$:

$g(x) = f(x)(x+1)$

$g(-x) = f(-x)(-x+1) = f(-x)(1-x)$

Так как $g(x) = g(-x)$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$f(x)(x+1) = f(-x)(1-x)$

Это равенство справедливо для всех $x$. Нам необходимо найти значение $f(4)$. Для этого подставим в полученное равенство $x = 4$:

$f(4)(4+1) = f(-4)(1-4)$

Упростим выражение:

$f(4) \cdot 5 = f(-4) \cdot (-3)$

Из условия задачи нам известно, что $f(-4) = 9$. Подставим это значение в уравнение:

$5 \cdot f(4) = 9 \cdot (-3)$

$5 \cdot f(4) = -27$

Теперь найдем $f(4)$, разделив обе части уравнения на 5:

$f(4) = \frac{-27}{5}$

$f(4) = -5.4$

Ответ: -5.4

На прямой отмечено несколько точек. Выбрав одну из них, Самат подсчитал число отрезков с концами в других отмеченных точках, на которых она лежит. Получилось 80 отрезков. Проделав то же самое с другой отмеченной точкой, он получил 90 отрезков. Сколько точек было отмечено на прямой?

Пусть на прямой отмечено $n$ точек. Когда мы выбираем одну точку, она делит остальные $n-1$ точек на две группы: $l$ точек слева от нее и $r$ точек справа от нее. Таким образом, общее количество точек на прямой можно выразить как $n = l + r + 1$.

Отрезок, на котором лежит выбранная точка, должен иметь своими концами одну точку из группы слева и одну точку из группы справа. Количество таких отрезков можно найти, перемножив количество точек в левой группе на количество точек в правой группе. Формула для подсчета числа отрезков: $N = l \times r$.

По условию задачи, для первой выбранной точки Самат насчитал 80 отрезков. Обозначим количество точек слева и справа от нее как $l_1$ и $r_1$. Тогда мы получаем первое уравнение:

$l_1 \times r_1 = 80$

Для второй выбранной точки он насчитал 90 отрезков. Обозначим количество точек слева и справа от нее как $l_2$ и $r_2$. Это дает нам второе уравнение:

$l_2 \times r_2 = 90$

Поскольку общее число точек $n$ на прямой не меняется, то сумма $l+r = n-1$ также является постоянной для обеих выбранных точек. Следовательно, $l_1 + r_1 = l_2 + r_2$.

Наша задача сводится к тому, чтобы найти такие пары целых чисел ($l_1, r_1$) и ($l_2, r_2$), которые являются множителями 80 и 90 соответственно, и при этом имеют одинаковую сумму.

Рассмотрим все пары множителей для числа 80 и найдем их сумму ($l_1+r_1$):
$1 \times 80 = 80 \implies 1 + 80 = 81$
$2 \times 40 = 80 \implies 2 + 40 = 42$
$4 \times 20 = 80 \implies 4 + 20 = 24$
$5 \times 16 = 80 \implies 5 + 16 = 21$
$8 \times 10 = 80 \implies 8 + 10 = 18$

Теперь рассмотрим все пары множителей для числа 90 и найдем их сумму ($l_2+r_2$):
$1 \times 90 = 90 \implies 1 + 90 = 91$
$2 \times 45 = 90 \implies 2 + 45 = 47$
$3 \times 30 = 90 \implies 3 + 30 = 33$
$5 \times 18 = 90 \implies 5 + 18 = 23$
$6 \times 15 = 90 \implies 6 + 15 = 21$
$9 \times 10 = 90 \implies 9 + 10 = 19$

Сравнивая полученные суммы, мы видим, что единственное значение, которое совпадает в обоих списках, это 21.Это означает, что $l_1 + r_1 = l_2 + r_2 = 21$.Для первой точки это соответствует паре множителей (5, 16), а для второй — (6, 15).

Теперь мы можем найти общее число точек $n$ на прямой, используя формулу $n = l + r + 1$:

$n = 21 + 1 = 22$

Таким образом, на прямой было отмечено 22 точки.Ответ: 22.

37. (2) За январь, февраль, март зарплата составила в сумме 477000 тенге, а за апрель, май, июнь - 558000 тенге, при этом в течение календарного года она ежемесячно увеличивалась на одну и ту же величину. Определите зарплату за сентябрь.

Поскольку зарплата ежемесячно увеличивалась на одну и ту же величину, последовательность зарплат по месяцам представляет собой арифметическую прогрессию. Обозначим зарплату за январь (первый член прогрессии) как $a_1$, а ежемесячное увеличение (разность прогрессии) как $d$. Зарплата за n-й месяц вычисляется по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма зарплат за первые три месяца (январь, февраль, март) составляет 477000 тенге. Запишем это в виде уравнения:
$a_1 + a_2 + a_3 = 477000$
Подставим члены прогрессии, выраженные через $a_1$ и $d$:
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 477000$
$3a_1 + 3d = 477000$
Разделив обе части уравнения на 3, получаем первое уравнение:
$a_1 + d = 159000$

Сумма зарплат за следующие три месяца (апрель, май, июнь) составляет 558000 тенге.
$a_4 + a_5 + a_6 = 558000$
$(a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 558000$
$3a_1 + 12d = 558000$
Разделив обе части уравнения на 3, получаем второе уравнение:
$a_1 + 4d = 186000$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:
$\begin{cases} a_1 + d = 159000 \\ a_1 + 4d = 186000 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 4d) - (a_1 + d) = 186000 - 159000$
$3d = 27000$
$d = 9000$
Таким образом, ежемесячное увеличение зарплаты составляет 9000 тенге.

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 9000 = 159000$
$a_1 = 159000 - 9000$
$a_1 = 150000$
Таким образом, зарплата за январь составляла 150000 тенге.

Нам необходимо определить зарплату за сентябрь, то есть найти 9-й член прогрессии ($a_9$).
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$
$a_9 = 150000 + 8 \cdot 9000$
$a_9 = 150000 + 72000$
$a_9 = 222000$

Ответ: зарплата за сентябрь составляет 222000 тенге.

38. (2) Упростите: $ \operatorname{tg}^2 (270^\circ + \alpha) \cdot \sin^2 (180^\circ + \alpha) $.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения.

Сначала рассмотрим первый множитель $tg^2(270^\circ + \alpha)$. Применим формулу приведения для $tg(270^\circ + \alpha)$. Так как в аргументе стоит угол $270^\circ$, функция тангенс меняется на кофункцию, то есть на котангенс. Угол $(270^\circ + \alpha)$ принадлежит IV координатной четверти (при малых $\alpha$), где тангенс имеет отрицательный знак. Следовательно:

$tg(270^\circ + \alpha) = -ctg(\alpha)$

Возводя это выражение в квадрат, получаем:

$tg^2(270^\circ + \alpha) = (-ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$

Теперь рассмотрим второй множитель $\sin^2(180^\circ + \alpha)$. Применим формулу приведения для $\sin(180^\circ + \alpha)$. Так как в аргументе стоит угол $180^\circ$, наименование функции синус не меняется. Угол $(180^\circ + \alpha)$ принадлежит III координатной четверти, где синус имеет отрицательный знак. Следовательно:

$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$

Возводя это выражение в квадрат, получаем:

$\sin^2(180^\circ + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное произведение:

$tg^2(270^\circ + \alpha) \cdot \sin^2(180^\circ + \alpha) = ctg^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha)$

Используем определение котангенса $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ для дальнейшего упрощения:

$ctg^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \cdot \sin^2(\alpha)$

Сокращая $\sin^2(\alpha)$, получаем окончательный результат:

$\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \cdot \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$

Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

39. Решите неравенство.

a) (1)

$\frac{-4}{3x-7} > 0;$

б) (2)

$\frac{5x+4}{5x^2-6x+1} < \frac{1}{x-2}$

в) (3)

$\frac{5(x^3+6x^2+12x+8)}{(x-1)^2(x+8)} \ge \frac{x(x+2)^3}{(x^2-2x+1)(x+8)}.$ В ответе укажите количество целых решений, принадлежащих отрезку $[-10;12]$.

а) (1)

Дано неравенство: $\frac{-4}{3x-7} > 0$.

Числитель дроби, $-4$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была больше нуля (положительной), знаменатель также должен быть отрицательным.

Следовательно, решаем неравенство:

$3x - 7 < 0$

Переносим $-7$ в правую часть, меняя знак:

$3x < 7$

Делим обе части на 3:

$x < \frac{7}{3}$

Таким образом, решение неравенства представляет собой интервал от минус бесконечности до $\frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{3})$.

б) (2)

Дано неравенство: $\frac{5x+4}{5x^2-6x+1} < \frac{1}{x-2}$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{5x+4}{5x^2-6x+1} - \frac{1}{x-2} < 0$

Разложим на множители знаменатель $5x^2-6x+1$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2-6x+1=0$.

Дискриминант $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6-4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6+4}{10} = 1$.

Следовательно, $5x^2-6x+1 = 5(x-\frac{1}{5})(x-1) = (5x-1)(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{5x+4}{(5x-1)(x-1)} - \frac{1}{x-2} < 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(5x-1)(x-1)(x-2)$:

$\frac{(5x+4)(x-2) - 1 \cdot (5x-1)(x-1)}{(5x-1)(x-1)(x-2)} < 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(5x^2 - 10x + 4x - 8) - (5x^2 - 5x - x + 1) = (5x^2 - 6x - 8) - (5x^2 - 6x + 1) = 5x^2 - 6x - 8 - 5x^2 + 6x - 1 = -9$.

Неравенство упрощается до: $\frac{-9}{(5x-1)(x-1)(x-2)} < 0$.

Так как числитель $-9$ является отрицательным числом, для выполнения неравенства (чтобы вся дробь была меньше нуля) знаменатель должен быть положительным:

$(5x-1)(x-1)(x-2) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни (нули) выражения в левой части: $x=\frac{1}{5}$, $x=1$, $x=2$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• Интервал $(2; +\infty)$: $x=3 \implies (5\cdot3-1)(3-1)(3-2) = 14 \cdot 2 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1; 2)$: $x=1.5 \implies (5\cdot1.5-1)(1.5-1)(1.5-2) = 6.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак "-".
• Интервал $(\frac{1}{5}; 1)$: $x=0.5 \implies (5\cdot0.5-1)(0.5-1)(0.5-2) = 1.5 \cdot (-0.5) \cdot (-1.5) > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty; \frac{1}{5})$: $x=0 \implies (5\cdot0-1)(0-1)(0-2) = (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; 1) \cup (2; +\infty)$.

в) (3)

Дано неравенство: $\frac{5(x^3+6x^2+12x+8)}{(x-1)^2(x+8)} \ge \frac{x(x+2)^3}{(x^2-2x+1)(x+8)}$.

Упростим выражения в числителе и знаменателе. Заметим, что $x^3+6x^2+12x+8$ является формулой куба суммы $(x+2)^3$, а $x^2-2x+1$ — формулой квадрата разности $(x-1)^2$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$\frac{5(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)} \ge \frac{x(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 1$ и $x \neq -8$.

Перенесем правую часть налево:

$\frac{5(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)} - \frac{x(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)} \ge 0$

Так как знаменатели одинаковы, объединим дроби и вынесем общий множитель $(x+2)^3$ в числителе:

$\frac{(x+2)^3(5-x)}{(x-1)^2(x+8)} \ge 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Нули числителя: $x+2=0 \implies x=-2$; $5-x=0 \implies x=5$. Эти точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
• Нули знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$; $x+8=0 \implies x=-8$. Эти точки исключаются из решения.

Отметим точки $-8, -2, 1, 5$ на числовой оси и определим знаки выражения. Заметим, что множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен (при $x \neq 1$) и не влияет на знак дроби, поэтому при переходе через точку $x=1$ знак меняться не будет (корень четной кратности).

• Интервал $(5; +\infty)$: $x=10 \implies \frac{(+)^3(-)}{(+)^2(+)} = \frac{-}{+} < 0$.
• Интервал $(1; 5)$: $x=2 \implies \frac{(+)^3(+)}{(+)^2(+)} = \frac{+}{+} > 0$. Интервал подходит. Включаем $x=5$. Получаем $(1; 5]$.
• Интервал $(-2; 1)$: $x=0 \implies \frac{(+)^3(+)}{(+)^2(+)} = \frac{+}{+} > 0$. Интервал подходит. Включаем $x=-2$. Получаем $[-2; 1)$.
• Интервал $(-8; -2)$: $x=-3 \implies \frac{(-)^3(+)}{(-)^2(+)} = \frac{-}{+} < 0$.
• Интервал $(-\infty; -8)$: $x=-10 \implies \frac{(-)^3(+)}{(-)^2(-)} = \frac{-}{-} > 0$. Интервал подходит. Получаем $(-\infty; -8)$.

Общее решение неравенства: $x \in (-\infty; -8) \cup [-2; 1) \cup (1; 5]$.

Теперь нужно найти количество целых решений, принадлежащих отрезку $[-10; 12]$.

1. Целые числа из интервала $(-\infty; -8)$, принадлежащие отрезку $[-10; 12]$: $-10, -9$ (всего 2 числа).

2. Целые числа из объединения $[-2; 1) \cup (1; 5]$, принадлежащие отрезку $[-10; 12]$: $-2, -1, 0, 2, 3, 4, 5$ (всего 7 чисел).

Суммируем количество найденных целых решений: $2 + 7 = 9$.

Ответ: 9.