Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Найдите значение производной функции $f(x) = \frac{5}{x^2} + \frac{3}{x^3} - 4$ в точке $x_0=1$.

Для того чтобы найти значение производной функции в точке, сначала необходимо найти саму производную. Исходная функция: $f(x) = \frac{5}{x^2} + \frac{3}{x^3} - 4$.

Для удобства дифференцирования перепишем функцию, используя отрицательные степени:

$f(x) = 5x^{-2} + 3x^{-3} - 4$

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (5x^{-2} + 3x^{-3} - 4)' = (5x^{-2})' + (3x^{-3})' - (4)'$

$f'(x) = 5 \cdot (-2)x^{-2-1} + 3 \cdot (-3)x^{-3-1} - 0$

$f'(x) = -10x^{-3} - 9x^{-4}$

Вернемся к записи с дробями:

$f'(x) = -\frac{10}{x^3} - \frac{9}{x^4}$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$:

$f'(1) = -\frac{10}{1^3} - \frac{9}{1^4} = -\frac{10}{1} - \frac{9}{1} = -10 - 9 = -19$

Ответ: -19

Упражнение 5

Найдите $f'(x)$, где $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$.

Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$, необходимо воспользоваться правилом дифференцирования частного (или правилом частного), которое формулируется следующим образом: если функция представлена в виде частного двух других функций $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то её производная $f'(x)$ находится по формуле: $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

В нашем случае обозначим:

$u(x) = x^2 + 1$ (числитель)

$v(x) = x^2 - 1$ (знаменатель)

Теперь найдем производные этих функций:

Производная числителя: $u'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Производная знаменателя: $v'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

Подставим полученные выражения для $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ и $v'(x)$ в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x) \cdot (x^2 - 1) - (x^2 + 1) \cdot (2x)}{(x^2 - 1)^2}$

Теперь упростим выражение в числителе. Раскроем скобки:

$f'(x) = \frac{(2x^3 - 2x) - (2x^3 + 2x)}{(x^2 - 1)^2}$

Далее уберем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

Таким образом, мы нашли производную исходной функции.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$

Упражнение 6

Найдите $f'(x)$, если $f(x)=x^3 \sin 10x$.

Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 \sin(10x)$ необходимо применить правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

В нашем случае пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \sin(10x)$.

1. Найдем производную $u'(x)$:

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$u'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

2. Найдем производную $v'(x)$:

Функция $v(x) = \sin(10x)$ является сложной. Применяем цепное правило: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Здесь внешняя функция $g(t) = \sin(t)$, ее производная $g'(t) = \cos(t)$. Внутренняя функция $h(x) = 10x$, ее производная $h'(x) = 10$.

$v'(x) = (\sin(10x))' = \cos(10x) \cdot (10x)' = \cos(10x) \cdot 10 = 10\cos(10x)$.

3. Подставим найденные производные $u'(x)$ и $v'(x)$ в формулу для производной произведения:

$f'(x) = (x^3 \sin(10x))' = (x^3)' \cdot \sin(10x) + x^3 \cdot (\sin(10x))'$.

$f'(x) = 3x^2 \cdot \sin(10x) + x^3 \cdot 10\cos(10x)$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 3x^2 \sin(10x) + 10x^3 \cos(10x)$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 \sin(10x) + 10x^3 \cos(10x)$.