Номер 9, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (3) Найдите значение выражения $f(1)+2f(-2)+4f(16)$, если известно,

что функция $y=f(x)$ нечетная и периодическая с периодом, равным

10, а на отрезке $[0;5]$ она определена формулой $f(x)=10x-2x^2$.

Для нахождения значения выражения нам понадобятся три свойства функции $y=f(x)$, указанные в условии:

1. Функция является нечетной, следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

2. Функция является периодической с периодом $T=10$, следовательно, для любого $x$ из области определения и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x+10k) = f(x)$.

3. На отрезке $[0;5]$ функция задается формулой $f(x) = 10x - 2x^2$.

Вычислим поочередно каждое слагаемое в выражении $f(1) + 2f(-2) + 4f(16)$.

Найдем значение $f(1)$.

Аргумент $x=1$ принадлежит отрезку $[0;5]$, поэтому мы можем применить заданную формулу:

$f(1) = 10(1) - 2(1)^2 = 10 - 2 = 8$.

Найдем значение $f(-2)$.

Аргумент $x=-2$ не принадлежит отрезку $[0;5]$. Воспользуемся свойством нечетности функции:

$f(-2) = -f(2)$.

Аргумент $x=2$ принадлежит отрезку $[0;5]$, поэтому для $f(2)$ можно применить формулу:

$f(2) = 10(2) - 2(2)^2 = 20 - 2 \cdot 4 = 20 - 8 = 12$.

Таким образом, $f(-2) = -12$.

Найдем значение $f(16)$.

Аргумент $x=16$ не принадлежит отрезку $[0;5]$. Воспользуемся свойством периодичности функции, вычтя из аргумента период $T=10$:

$f(16) = f(16 - 10) = f(6)$.

Аргумент $x=6$ также не принадлежит отрезку $[0;5]$. Применим свойство периодичности еще раз, чтобы привести аргумент к отрицательному значению, с которым можно будет работать, используя свойство нечетности:

$f(6) = f(6 - 10) = f(-4)$.

Теперь воспользуемся свойством нечетности функции:

$f(-4) = -f(4)$.

Аргумент $x=4$ принадлежит отрезку $[0;5]$. Вычислим $f(4)$ по формуле:

$f(4) = 10(4) - 2(4)^2 = 40 - 2 \cdot 16 = 40 - 32 = 8$.

Следовательно, $f(-4) = -8$, а значит и $f(16) = -8$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$f(1) + 2f(-2) + 4f(16) = 8 + 2 \cdot (-12) + 4 \cdot (-8) = 8 - 24 - 32 = -16 - 32 = -48$.

Ответ: -48