Номер 2, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) Функция $g(x)$ четная и имеет период $T=6$, на множестве $x \in [-2;0)$ имеет место равенство $g(x)=-2x+1$. Найдите $g(100)$, $g(98)$, $g(103)$.

По условию, функция $g(x)$ является четной и периодической.
1. Свойство четности: $g(x) = g(-x)$ для любого $x$ из области определения.
2. Свойство периодичности: $g(x) = g(x + 6k)$ для любого целого числа $k$, так как период $T=6$.

Нам дано, что на множестве $x \in [-2; 0]$ функция задана формулой $g(x) = -2x + 1$. Используя свойство четности, мы можем определить вид функции на симметричном множестве $x \in [0; 2]$. Если $x \in [0; 2]$, то $-x \in [-2; 0]$. Тогда, по определению четной функции: $g(x) = g(-x) = -2(-x) + 1 = 2x + 1$.

Таким образом, для вычислений мы можем использовать значения функции на отрезке $[-2; 2]$:
При $x \in [-2; 0]$, $g(x) = -2x + 1$.
При $x \in [0; 2]$, $g(x) = 2x + 1$.

g(100)

Чтобы найти значение $g(100)$, воспользуемся свойством периодичности. Найдем такой аргумент $x_0 = 100 - 6k$, который будет лежать в отрезке $[-2; 2]$. Для этого найдем остаток от деления $100$ на $6$: $100 = 16 \cdot 6 + 4$. Следовательно, $g(100) = g(16 \cdot 6 + 4) = g(4)$. Аргумент $4$ не входит в отрезок $[-2; 2]$, поэтому применим свойство периодичности еще раз: $g(4) = g(4 - 6) = g(-2)$. Теперь аргумент $x = -2$ принадлежит отрезку $[-2; 0]$. Используем заданную формулу $g(x) = -2x + 1$: $g(-2) = -2(-2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

g(98)

Аналогично найдем значение $g(98)$. Найдем остаток от деления $98$ на $6$: $98 = 16 \cdot 6 + 2$. Следовательно, $g(98) = g(16 \cdot 6 + 2) = g(2)$. Аргумент $x = 2$ принадлежит отрезку $[0; 2]$. Используем выведенную нами формулу $g(x) = 2x + 1$: $g(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

g(103)

Найдем значение $g(103)$. Найдем остаток от деления $103$ на $6$: $103 = 17 \cdot 6 + 1$. Следовательно, $g(103) = g(17 \cdot 6 + 1) = g(1)$. Аргумент $x = 1$ принадлежит отрезку $[0; 2]$. Используем формулу $g(x) = 2x + 1$: $g(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$.
Ответ: 3.