Номер 39, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

39. Решите неравенство.

a) (1)

$\frac{-4}{3x-7} > 0;$

б) (2)

$\frac{5x+4}{5x^2-6x+1} < \frac{1}{x-2}$

в) (3)

$\frac{5(x^3+6x^2+12x+8)}{(x-1)^2(x+8)} \ge \frac{x(x+2)^3}{(x^2-2x+1)(x+8)}.$ В ответе укажите количество целых решений, принадлежащих отрезку $[-10;12]$.

а) (1)

Дано неравенство: $\frac{-4}{3x-7} > 0$.

Числитель дроби, $-4$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была больше нуля (положительной), знаменатель также должен быть отрицательным.

Следовательно, решаем неравенство:

$3x - 7 < 0$

Переносим $-7$ в правую часть, меняя знак:

$3x < 7$

Делим обе части на 3:

$x < \frac{7}{3}$

Таким образом, решение неравенства представляет собой интервал от минус бесконечности до $\frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{3})$.

б) (2)

Дано неравенство: $\frac{5x+4}{5x^2-6x+1} < \frac{1}{x-2}$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{5x+4}{5x^2-6x+1} - \frac{1}{x-2} < 0$

Разложим на множители знаменатель $5x^2-6x+1$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2-6x+1=0$.

Дискриминант $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6-4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6+4}{10} = 1$.

Следовательно, $5x^2-6x+1 = 5(x-\frac{1}{5})(x-1) = (5x-1)(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{5x+4}{(5x-1)(x-1)} - \frac{1}{x-2} < 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(5x-1)(x-1)(x-2)$:

$\frac{(5x+4)(x-2) - 1 \cdot (5x-1)(x-1)}{(5x-1)(x-1)(x-2)} < 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(5x^2 - 10x + 4x - 8) - (5x^2 - 5x - x + 1) = (5x^2 - 6x - 8) - (5x^2 - 6x + 1) = 5x^2 - 6x - 8 - 5x^2 + 6x - 1 = -9$.

Неравенство упрощается до: $\frac{-9}{(5x-1)(x-1)(x-2)} < 0$.

Так как числитель $-9$ является отрицательным числом, для выполнения неравенства (чтобы вся дробь была меньше нуля) знаменатель должен быть положительным:

$(5x-1)(x-1)(x-2) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни (нули) выражения в левой части: $x=\frac{1}{5}$, $x=1$, $x=2$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• Интервал $(2; +\infty)$: $x=3 \implies (5\cdot3-1)(3-1)(3-2) = 14 \cdot 2 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1; 2)$: $x=1.5 \implies (5\cdot1.5-1)(1.5-1)(1.5-2) = 6.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак "-".
• Интервал $(\frac{1}{5}; 1)$: $x=0.5 \implies (5\cdot0.5-1)(0.5-1)(0.5-2) = 1.5 \cdot (-0.5) \cdot (-1.5) > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty; \frac{1}{5})$: $x=0 \implies (5\cdot0-1)(0-1)(0-2) = (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; 1) \cup (2; +\infty)$.

в) (3)

Дано неравенство: $\frac{5(x^3+6x^2+12x+8)}{(x-1)^2(x+8)} \ge \frac{x(x+2)^3}{(x^2-2x+1)(x+8)}$.

Упростим выражения в числителе и знаменателе. Заметим, что $x^3+6x^2+12x+8$ является формулой куба суммы $(x+2)^3$, а $x^2-2x+1$ — формулой квадрата разности $(x-1)^2$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$\frac{5(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)} \ge \frac{x(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 1$ и $x \neq -8$.

Перенесем правую часть налево:

$\frac{5(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)} - \frac{x(x+2)^3}{(x-1)^2(x+8)} \ge 0$

Так как знаменатели одинаковы, объединим дроби и вынесем общий множитель $(x+2)^3$ в числителе:

$\frac{(x+2)^3(5-x)}{(x-1)^2(x+8)} \ge 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Нули числителя: $x+2=0 \implies x=-2$; $5-x=0 \implies x=5$. Эти точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
• Нули знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$; $x+8=0 \implies x=-8$. Эти точки исключаются из решения.

Отметим точки $-8, -2, 1, 5$ на числовой оси и определим знаки выражения. Заметим, что множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен (при $x \neq 1$) и не влияет на знак дроби, поэтому при переходе через точку $x=1$ знак меняться не будет (корень четной кратности).

• Интервал $(5; +\infty)$: $x=10 \implies \frac{(+)^3(-)}{(+)^2(+)} = \frac{-}{+} < 0$.
• Интервал $(1; 5)$: $x=2 \implies \frac{(+)^3(+)}{(+)^2(+)} = \frac{+}{+} > 0$. Интервал подходит. Включаем $x=5$. Получаем $(1; 5]$.
• Интервал $(-2; 1)$: $x=0 \implies \frac{(+)^3(+)}{(+)^2(+)} = \frac{+}{+} > 0$. Интервал подходит. Включаем $x=-2$. Получаем $[-2; 1)$.
• Интервал $(-8; -2)$: $x=-3 \implies \frac{(-)^3(+)}{(-)^2(+)} = \frac{-}{+} < 0$.
• Интервал $(-\infty; -8)$: $x=-10 \implies \frac{(-)^3(+)}{(-)^2(-)} = \frac{-}{-} > 0$. Интервал подходит. Получаем $(-\infty; -8)$.

Общее решение неравенства: $x \in (-\infty; -8) \cup [-2; 1) \cup (1; 5]$.

Теперь нужно найти количество целых решений, принадлежащих отрезку $[-10; 12]$.

1. Целые числа из интервала $(-\infty; -8)$, принадлежащие отрезку $[-10; 12]$: $-10, -9$ (всего 2 числа).

2. Целые числа из объединения $[-2; 1) \cup (1; 5]$, принадлежащие отрезку $[-10; 12]$: $-2, -1, 0, 2, 3, 4, 5$ (всего 7 чисел).

Суммируем количество найденных целых решений: $2 + 7 = 9$.

Ответ: 9.