Номер 36, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

На прямой отмечено несколько точек. Выбрав одну из них, Самат подсчитал число отрезков с концами в других отмеченных точках, на которых она лежит. Получилось 80 отрезков. Проделав то же самое с другой отмеченной точкой, он получил 90 отрезков. Сколько точек было отмечено на прямой?

Пусть на прямой отмечено $n$ точек. Когда мы выбираем одну точку, она делит остальные $n-1$ точек на две группы: $l$ точек слева от нее и $r$ точек справа от нее. Таким образом, общее количество точек на прямой можно выразить как $n = l + r + 1$.

Отрезок, на котором лежит выбранная точка, должен иметь своими концами одну точку из группы слева и одну точку из группы справа. Количество таких отрезков можно найти, перемножив количество точек в левой группе на количество точек в правой группе. Формула для подсчета числа отрезков: $N = l \times r$.

По условию задачи, для первой выбранной точки Самат насчитал 80 отрезков. Обозначим количество точек слева и справа от нее как $l_1$ и $r_1$. Тогда мы получаем первое уравнение:

$l_1 \times r_1 = 80$

Для второй выбранной точки он насчитал 90 отрезков. Обозначим количество точек слева и справа от нее как $l_2$ и $r_2$. Это дает нам второе уравнение:

$l_2 \times r_2 = 90$

Поскольку общее число точек $n$ на прямой не меняется, то сумма $l+r = n-1$ также является постоянной для обеих выбранных точек. Следовательно, $l_1 + r_1 = l_2 + r_2$.

Наша задача сводится к тому, чтобы найти такие пары целых чисел ($l_1, r_1$) и ($l_2, r_2$), которые являются множителями 80 и 90 соответственно, и при этом имеют одинаковую сумму.

Рассмотрим все пары множителей для числа 80 и найдем их сумму ($l_1+r_1$):
$1 \times 80 = 80 \implies 1 + 80 = 81$
$2 \times 40 = 80 \implies 2 + 40 = 42$
$4 \times 20 = 80 \implies 4 + 20 = 24$
$5 \times 16 = 80 \implies 5 + 16 = 21$
$8 \times 10 = 80 \implies 8 + 10 = 18$

Теперь рассмотрим все пары множителей для числа 90 и найдем их сумму ($l_2+r_2$):
$1 \times 90 = 90 \implies 1 + 90 = 91$
$2 \times 45 = 90 \implies 2 + 45 = 47$
$3 \times 30 = 90 \implies 3 + 30 = 33$
$5 \times 18 = 90 \implies 5 + 18 = 23$
$6 \times 15 = 90 \implies 6 + 15 = 21$
$9 \times 10 = 90 \implies 9 + 10 = 19$

Сравнивая полученные суммы, мы видим, что единственное значение, которое совпадает в обоих списках, это 21.Это означает, что $l_1 + r_1 = l_2 + r_2 = 21$.Для первой точки это соответствует паре множителей (5, 16), а для второй — (6, 15).

Теперь мы можем найти общее число точек $n$ на прямой, используя формулу $n = l + r + 1$:

$n = 21 + 1 = 22$

Таким образом, на прямой было отмечено 22 точки.Ответ: 22.