Номер 31, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

31.(3)

Функция $f(x)$ является нечетной, известно, что $f(x)=-x+5$ при $x<0$.

Постройте график $y=f(x)$. Исследуйте функцию.

Постройте график y = f(x).

По условию, функция $f(x)$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Нам известно, что при $x < 0$ функция задается формулой $f(x) = -x + 5$.

Чтобы найти вид функции при $x > 0$, воспользуемся свойством нечетности. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Для такого значения аргумента мы можем использовать заданную формулу:

$f(-x) = -(-x) + 5 = x + 5$.

Теперь из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$ получаем:

$f(x) = -(x + 5) = -x - 5$ при $x > 0$.

Для точки $x=0$, если она входит в область определения, из свойства нечетности следует: $f(0) = -f(-0)$, что равносильно $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0) = 0$ и $f(0) = 0$.

Таким образом, мы получили полное аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} -x + 5, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -x - 5, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график линейной функции $y = -x + 5$. Это луч, проходящий, например, через точки $(-2, 7)$ и $(-5, 10)$. При приближении $x$ к $0$ слева, значение $y$ стремится к 5, поэтому на оси ординат будет выколотая точка $(0, 5)$.

2. В точке $x=0$ значение функции $y=0$. Отмечаем точку в начале координат $(0, 0)$.

3. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график линейной функции $y = -x - 5$. Это луч, проходящий, например, через точки $(2, -7)$ и $(5, -10)$. При приближении $x$ к $0$ справа, значение $y$ стремится к -5, поэтому на оси ординат будет выколотая точка $(0, -5)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ состоит из луча прямой $y = -x + 5$ для $x \in (-\infty, 0)$ с выколотой точкой $(0, 5)$, точки $(0, 0)$ в начале координат, и луча прямой $y = -x - 5$ для $x \in (0, +\infty)$ с выколотой точкой $(0, -5)$.

Исследуйте функцию.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: При $x < 0$ значения функции $y = -x + 5$ больше 5. При $x > 0$ значения функции $y = -x - 5$ меньше -5. При $x=0$ значение $y=0$. Таким образом, $E(f) = (-\infty; -5) \cup \{0\} \cup (5; +\infty)$.

3. Четность: Функция является нечетной по условию. $f(-x) = -f(x)$.

4. Нули функции: $f(x)=0$ только в одной точке $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

6. Монотонность: На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) = (-x+5)' = -1 < 0$. На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = (-x-5)' = -1 < 0$. Так как $f(x_1) > f(x_2)$ для любых $x_1 < x_2$ из области определения, функция является строго убывающей на всей своей области определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

7. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x=0$ она имеет разрыв первого рода (скачок), так как односторонние пределы не равны: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 5$, а $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -5$.

8. Экстремумы: Так как функция является монотонно убывающей на всей области определения, у нее нет точек локального максимума или минимума.

Ответ:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; -5) \cup \{0\} \cup (5; +\infty)$.
3. Четность: нечетная.
4. Нули функции: $x = 0$.
5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
6. Монотонность: функция строго убывает на всей области определения.
7. Непрерывность: непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, в точке $x=0$ разрыв первого рода.
8. Экстремумы: отсутствуют.