Номер 30, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

30. (3) Функция $f(x)$ является нечетной; известно, что $f(x)=x^2-2x$ при $x \geq 0$. Постройте график $y=f(x)$. Исследуйте функцию.

По условию, функция $f(x)$ является нечетной, что означает выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Также известно, что при $x \ge 0$, функция задается формулой $f(x) = x^2 - 2x$.

Найдем вид функции для $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Для значения $-x$ мы можем использовать данную формулу:

$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.

Используя свойство нечетности $f(x) = -f(-x)$, получаем:

$f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$ при $x < 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Построение графика y = f(x)

График функции состоит из двух частей.

1. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$. Ветви этой параболы направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$; $y_0 = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1; -1)$. Нули функции на этом промежутке: $x(x-2)=0$, т.е. $x=0$ и $x=2$.

2. При $x < 0$ график совпадает с графиком параболы $y = -x^2 - 2x$. Ветви этой параболы направлены вниз. Координаты вершины: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot (-1)) = -1$; $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) = -1+2 = 1$. Вершина находится в точке $(-1; 1)$. Нули функции на этом промежутке: $-x(x+2)=0$, т.е. $x=0$ (не входит в интервал) и $x=-2$.

График функции симметричен относительно начала координат, что соответствует свойству нечетной функции.

Исследование функции

1. Область определения

Функция задана для всех $x \ge 0$ и для всех $x < 0$, следовательно, она определена на всей числовой прямой.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений

При $x \to +\infty$, $f(x) = x^2 - 2x \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $f(x) = -x^2 - 2x \to -\infty$. Так как функция непрерывна, она принимает все промежуточные значения. Локальный максимум равен 1, локальный минимум равен -1. Таким образом, функция принимает все действительные значения.
Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность, нечетность

По условию задачи, функция является нечетной. Проверка подтверждает это: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$ для $x \le 0$ и $f(x) = -x^2-2x$ для $x<0$. Мы видим, что $f(-x) = -(-x^2+2x)$ и $f(x) = -x^2-2x$, что не совпадает. Проведем проверку аккуратнее: пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. $f(-x) = -(-x)^2 - 2(-x) = -x^2 + 2x = -(x^2-2x) = -f(x)$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x = -(-x^2 - 2x) = -f(x)$. Свойство выполняется.
Ответ: Функция является нечетной.

4. Непрерывность

На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ функция непрерывна, так как она задана многочленами. Проверим непрерывность в точке $x=0$.
$f(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2 - 2x) = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2x) = 0$.
Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=0$.
Ответ: Функция непрерывна на всей области определения.

5. Нули функции

Найдем точки, в которых $f(x) = 0$.
При $x \ge 0$: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=2$.
При $x < 0$: $-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x+2)=0 \Rightarrow x=0$ (не входит в интервал) или $x=-2$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

6. Промежутки знакопостоянства

Определим знаки функции на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции.
- На $(-\infty; -2)$: $f(-3) = -(-3)^2 - 2(-3) = -9 + 6 = -3 < 0$.
- На $(-2; 0)$: $f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 > 0$.
- На $(0; 2)$: $f(1) = 1^2 - 2(1) = -1 < 0$.
- На $(2; +\infty)$: $f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 > 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

7. Промежутки монотонности

Найдем производную функции:
$f'(x) = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x > 0 \\ -2x - 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
При $x > 0$: $2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
При $x < 0$: $-2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$.
Проверим знаки производной на интервалах:
- На $(-\infty; -1)$: $f'(-2) = -2(-2)-2 = 2 > 0$, функция возрастает.
- На $(-1; 0)$: $f'(-0.5) = -2(-0.5)-2 = -1 < 0$, функция убывает.
- На $(0; 1)$: $f'(0.5) = 2(0.5)-2 = -1 < 0$, функция убывает.
- На $(1; +\infty)$: $f'(2) = 2(2)-2 = 2 > 0$, функция возрастает.
Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутке $[-1; 1]$.

8. Точки экстремума

В точке $x = -1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = 1$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$.
Ответ: $x_{max} = -1$ - точка локального максимума, $f(-1) = 1$; $x_{min} = 1$ - точка локального минимума, $f(1) = -1$.