Номер 23, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (2) $f(x)=(x-6)^5 (x+7)^{12} + (x+6)^5 (x-7)^{12}$.

Для решения данной задачи мы преобразуем исходное выражение, используя симметрию.Дана функция:$f(x) = (x-6)^5 (x+7)^{12} + (x+6)^5 (x-7)^{12}$

Для упрощения введем вспомогательные функции, представляющие собой симметричные и антисимметричные комбинации:$S_n(a, x) = (x+a)^n + (x-a)^n$$D_n(a, x) = (x+a)^n - (x-a)^n$

Из этих определений можно выразить $(x+a)^n$ и $(x-a)^n$:$(x+a)^n = \frac{1}{2}(S_n(a, x) + D_n(a, x))$$(x-a)^n = \frac{1}{2}(S_n(a, x) - D_n(a, x))$

Теперь подставим эти выражения в исходную функцию $f(x)$, используя $a=6$ для степени 5 и $a=7$ для степени 12.Для краткости записи, будем опускать аргумент $x$, т.е. $S_n(a) = S_n(a, x)$ и $D_n(a) = D_n(a, x)$.

$(x-6)^5 = \frac{1}{2}(S_5(6) - D_5(6))$$(x+6)^5 = \frac{1}{2}(S_5(6) + D_5(6))$$(x-7)^{12} = \frac{1}{2}(S_{12}(7) - D_{12}(7))$ (т.к. 12 - четное число, $D_{12}$ будет содержать множитель $(x-7)^{12}-(x+7)^{12}$, поэтому здесь знак минус. Чтобы избежать путаницы, раскроем исходное выражение аккуратно).Заметим, что $(x-7)^{12} = (-(7-x))^{12} = (7-x)^{12}$. Но это не помогает.Давайте подставим выражения для $x \pm a$ в $f(x)$:$f(x) = \frac{1}{2}(S_5(6) - D_5(6)) \cdot \frac{1}{2}(S_{12}(7) + D_{12}(7)) + \frac{1}{2}(S_5(6) + D_5(6)) \cdot \frac{1}{2}(S_{12}(7) - D_{12}(7))$

Умножим обе части на 4 и раскроем скобки:$4f(x) = (S_5(6) - D_5(6))(S_{12}(7) + D_{12}(7)) + (S_5(6) + D_5(6))(S_{12}(7) - D_{12}(7))$$4f(x) = (S_5S_{12} + S_5D_{12} - D_5S_{12} - D_5D_{12}) + (S_5S_{12} - S_5D_{12} + D_5S_{12} - D_5D_{12})$

После приведения подобных членов получаем:$4f(x) = 2S_5(6)S_{12}(7) - 2D_5(6)D_{12}(7)$$f(x) = \frac{1}{2} [S_5(6,x)S_{12}(7,x) - D_5(6,x)D_{12}(7,x)]$

Теперь найдем явные выражения для $S_n(a, x)$ и $D_n(a, x)$ с помощью бинома Ньютона.$S_n(a, x) = 2 \sum_{k=0, k - \text{четное}}^n \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$$D_n(a, x) = 2 \sum_{k=1, k - \text{нечетное}}^n \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$

Вычислим каждую из четырех компонент:1. $S_5(6, x) = (x+6)^5 + (x-6)^5 = 2(\binom{5}{0}x^5 6^0 + \binom{5}{2}x^3 6^2 + \binom{5}{4}x^1 6^4)$$S_5(6, x) = 2(x^5 + 10 \cdot 36x^3 + 5 \cdot 1296x) = 2(x^5 + 360x^3 + 6480x)$

2. $D_5(6, x) = (x+6)^5 - (x-6)^5 = 2(\binom{5}{1}x^4 6^1 + \binom{5}{3}x^2 6^3 + \binom{5}{5}x^0 6^5)$$D_5(6, x) = 2(5 \cdot 6x^4 + 10 \cdot 216x^2 + 1 \cdot 7776) = 2(30x^4 + 2160x^2 + 7776)$

3. $S_{12}(7, x) = (x+7)^{12} + (x-7)^{12} = 2 \sum_{k=0, k - \text{четное}}^{12} \binom{12}{k} x^{12-k} 7^k$$S_{12}(7, x) = 2(\binom{12}{0}x^{12} + \binom{12}{2}x^{10}7^2 + \binom{12}{4}x^8 7^4 + \binom{12}{6}x^6 7^6 + \binom{12}{8}x^4 7^8 + \binom{12}{10}x^2 7^{10} + \binom{12}{12}7^{12})$$S_{12}(7, x) = 2(x^{12} + 66 \cdot 49x^{10} + 495 \cdot 2401x^8 + 924 \cdot 117649x^6 + 495 \cdot 5764801x^4 + 66 \cdot 282475249x^2 + 13841287201)$$S_{12}(7, x) = 2(x^{12} + 3234x^{10} + 1188495x^8 + 1087196676x^6 + 2853576495x^4 + 18643366434x^2 + 13841287201)$

4. $D_{12}(7, x) = (x+7)^{12} - (x-7)^{12} = 2 \sum_{k=1, k - \text{нечетное}}^{11} \binom{12}{k} x^{12-k} 7^k$$D_{12}(7, x) = 2(\binom{12}{1}x^{11}7^1 + \binom{12}{3}x^9 7^3 + \binom{12}{5}x^7 7^5 + \binom{12}{7}x^5 7^7 + \binom{12}{9}x^3 7^9 + \binom{12}{11}x^1 7^{11})$$D_{12}(7, x) = 2(12 \cdot 7x^{11} + 220 \cdot 343x^9 + 792 \cdot 16807x^7 + 792 \cdot 823543x^5 + 220 \cdot 40353607x^3 + 12 \cdot 1977326743x)$$D_{12}(7, x) = 2(84x^{11} + 75460x^9 + 13311144x^7 + 652247056x^5 + 8877793540x^3 + 23727920916x)$

Таким образом, мы получили упрощенное структурное представление функции $f(x)$. Полное перемножение этих многочленов приведет к громоздкому выражению, поэтому представление через симметричные и антисимметричные компоненты является наилучшей формой упрощения.
Ответ:$f(x) = \frac{1}{2} [S_5(6,x)S_{12}(7,x) - D_5(6,x)D_{12}(7,x)]$, где$S_5(6, x) = 2(x^5 + 360x^3 + 6480x)$$D_5(6, x) = 2(30x^4 + 2160x^2 + 7776)$$S_{12}(7, x) = 2(x^{12} + 3234x^{10} + 1188495x^8 + 1087196676x^6 + 2853576495x^4 + 18643366434x^2 + 13841287201)$$D_{12}(7, x) = 2(84x^{11} + 75460x^9 + 13311144x^7 + 652247056x^5 + 8877793540x^3 + 23727920916x)$