Номер 21, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. (2)

$f(x) = (x+7)|x-4|+(x-7)|x+4|.$

Для решения задачи необходимо упростить выражение для функции $f(x) = (x+7)|x-4| + (x-7)|x+4|$, раскрыв модули. Выражения под знаком модуля, $|x-4|$ и $|x+4|$, меняют знак в точках $x=4$ и $x=-4$ соответственно. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых мы рассмотрим функцию отдельно.

Рассмотрим первый интервал: $x < -4$. На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны: $x-4 < 0$ и $x+4 < 0$. Поэтому $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x+4| = -(x+4) = -x-4$. Подставив это в исходное уравнение, получаем: $f(x) = (x+7)(4-x) + (x-7)(-x-4) = -(x+7)(x-4) - (x-7)(x+4)$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем: $f(x) = -(x^2+3x-28) - (x^2-3x-28) = -x^2-3x+28 - x^2+3x+28 = -2x^2+56$.

Теперь рассмотрим второй интервал: $-4 \le x < 4$. Здесь $x-4 < 0$, а $x+4 \ge 0$. Следовательно, $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x+4| = x+4$. Функция принимает вид: $f(x) = (x+7)(4-x) + (x-7)(x+4) = -(x+7)(x-4) + (x-7)(x+4)$. Раскрываем скобки: $f(x) = -(x^2+3x-28) + (x^2-3x-28) = -x^2-3x+28 + x^2-3x-28 = -6x$.

Наконец, рассмотрим третий интервал: $x \ge 4$. На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны: $x-4 \ge 0$ и $x+4 > 0$. Значит, $|x-4| = x-4$ и $|x+4| = x+4$. Функция записывается как: $f(x) = (x+7)(x-4) + (x-7)(x+4)$. После раскрытия скобок получаем: $f(x) = (x^2+3x-28) + (x^2-3x-28) = 2x^2-56$.

Объединяя результаты для всех интервалов, мы получаем кусочно-заданную функцию. Можно проверить, что на границах интервалов ($x=-4$ и $x=4$) значения функции, вычисленные по формулам для соседних интервалов, совпадают, что говорит о непрерывности функции. Таким образом, итоговое выражение для функции $f(x)$ выглядит следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -2x^2 + 56, & \text{если } x < -4 \\ -6x, & \text{если } -4 \le x < 4 \\ 2x^2 - 56, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -2x^2 + 56, & \text{если } x < -4 \\ -6x, & \text{если } -4 \le x < 4 \\ 2x^2 - 56, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$