Номер 22, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22.

(2) $g(x) = \frac{|x-5|}{(x+3)} - \frac{|x+5|}{(x-3)}$

(2) Для упрощения выражения для функции $g(x)$ необходимо раскрыть модули $|x-5|$ и $|x+5|$. Знаки подмодульных выражений меняются в точках $x=5$ и $x=-5$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Также следует учесть область определения функции: знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) При $x < -5$.

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x-5 < 0$ и $x+5 < 0$. Поэтому $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x+5| = -(x+5) = -x-5$.

Функция $g(x)$ принимает вид:

$g(x) = \frac{5-x}{x+3} - \frac{-(x+5)}{x-3} = \frac{5-x}{x+3} + \frac{x+5}{x-3}$

Приводя к общему знаменателю $(x+3)(x-3)=x^2-9$, получаем:

$g(x) = \frac{(5-x)(x-3) + (x+5)(x+3)}{x^2-9} = \frac{(5x-15-x^2+3x) + (x^2+3x+5x+15)}{x^2-9} = \frac{-x^2+8x-15 + x^2+8x+15}{x^2-9} = \frac{16x}{x^2-9}$

2) При $-5 \le x < 5$ (при этом $x \neq -3$ и $x \neq 3$).

На этом промежутке $x-5 < 0$ и $x+5 \ge 0$. Поэтому $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x+5| = x+5$.

Функция $g(x)$ принимает вид:

$g(x) = \frac{5-x}{x+3} - \frac{x+5}{x-3}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$g(x) = \frac{(5-x)(x-3) - (x+5)(x+3)}{x^2-9} = \frac{(-x^2+8x-15) - (x^2+8x+15)}{x^2-9} = \frac{-x^2+8x-15 - x^2-8x-15}{x^2-9} = \frac{-2x^2-30}{x^2-9} = -\frac{2(x^2+15)}{x^2-9}$

3) При $x \ge 5$.

На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $x-5 \ge 0$ и $x+5 > 0$. Поэтому $|x-5| = x-5$ и $|x+5| = x+5$.

Функция $g(x)$ принимает вид:

$g(x) = \frac{x-5}{x+3} - \frac{x+5}{x-3}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$g(x) = \frac{(x-5)(x-3) - (x+5)(x+3)}{x^2-9} = \frac{(x^2-8x+15) - (x^2+8x+15)}{x^2-9} = \frac{x^2-8x+15 - x^2-8x-15}{x^2-9} = \frac{-16x}{x^2-9}$

Объединяя результаты, получаем итоговое кусочно-заданное выражение для функции $g(x)$.

Ответ: $g(x) = \begin{cases} \frac{16x}{x^2-9}, & \text{если } x < -5 \\ -\frac{2(x^2+15)}{x^2-9}, & \text{если } -5 \le x < 5, \text{ } x \neq \pm 3 \\ -\frac{16x}{x^2-9}, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$