Номер 27, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. (2) Известно, что $f(x)$ – нечетная функция, возрастающая на интервале $(-3;-1)$, $D(f)=R$. Что можно сказать о характере монотонности $f(x)$ на интервале:

a) $(0;6)$;

б) $(-4;0)$;

в) $(1;3)$?

Анализ свойств нечетной функции

Важнейшее свойство монотонности для нечетной функции: если функция возрастает на промежутке $(a; b)$, то она будет точно так же возрастать на симметричном промежутке $(-b; -a)$.

а) Интервал $(0; 6)$

• Нам известно поведение функции только на интервале $(-3; -1)$.
• Интервал $(0; 6)$ не является симметричным для $(-3; -1)$.
• Поскольку $D(f) = \mathbb{R}$, функция определена в этих точках, но данных о её поведении (возрастает она там или убывает) в условии недостаточно.

Ответ: О характере монотонности ничего сказать нельзя.

б) Интервал $(-4; 0)$

• Данный интервал включает в себя известный нам промежуток $(-3; -1)$, где функция возрастает.
• Однако мы не знаем, как ведет себя функция на участках $(-4; -3)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: О характере монотонности на всем интервале сказать нельзя (известно только про его часть).

в) Интервал $(1; 3)$

• Этот интервал является симметричным интервалу $(-3; -1)$ относительно начала координат.
• Так как функция нечетная и она возрастает на $(-3; -1)$, то на симметричном интервале $(1; 3)$ характер монотонности сохраняется.
• Доказательство: Пусть $x_1, x_2 \in (1; 3)$ и $x_1 < x_2$. Тогда $-x_1, -x_2 \in (-3; -1)$, причем $-x_2 < -x_1$. Так как функция возрастает на $(-3; -1)$, то $f(-x_2) < f(-x_1)$. В силу нечетности: $-f(x_2) < -f(x_1) \implies f(x_2) > f(x_1)$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает.