Номер 18, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Исследуйте функцию на четность (18-25):

18. (1) 1. a) $f(x)=-x$;

б) $f(x)=|x-2|+|x+2|$;

в) $f(x)=4x^5-\frac{1}{x^2}$.

а) f(x) = -x⁷
Для исследования функции на четность необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция).
1. Найдем область определения функции $D(f)$. Функция является степенной, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = -(-x)^7$
Поскольку степень 7 нечетная, $(-x)^7 = -x^7$.
Следовательно, $f(-x) = -(-x^7) = x^7$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
$f(x) = -x^7$
$-f(x) = -(-x^7) = x^7$
Получили, что $f(-x) = -f(x)$.
Так как условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

б) f(x) = |x - 2| + |x + 2|
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение под модулем может быть любым действительным числом. Область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = |-x - 2| + |-x + 2|$
Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$.
$|-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$
$|-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|$
Таким образом, $f(-x) = |x + 2| + |x - 2|$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
$f(x) = |x - 2| + |x + 2|$
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $|x + 2| + |x - 2| = |x - 2| + |x + 2|$.
Получили, что $f(-x) = f(x)$.
Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной.
Ответ: функция четная.

в) f(x) = 4x⁵ - 1/x³
1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = 4(-x)^5 - \frac{1}{(-x)^3}$
Поскольку степени 5 и 3 нечетные, $(-x)^5 = -x^5$ и $(-x)^3 = -x^3$.
$f(-x) = 4(-x^5) - \frac{1}{-x^3} = -4x^5 + \frac{1}{x^3}$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
$f(x) = 4x^5 - \frac{1}{x^3}$
$-f(x) = -(4x^5 - \frac{1}{x^3}) = -4x^5 + \frac{1}{x^3}$
Получили, что $f(-x) = -f(x)$.
Так как условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.