Номер 13, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (3) Функция $f(x)$ является четной; известно, что $f(x)=-\frac{3}{x}$ при $x<0$.

Постройте график $y=f(x)$. Исследуйте функцию.

Постройте график y=f(x)

По условию, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Нам дана формула для $x < 0$: $f(x) = -\frac{3}{x}$.

Чтобы найти формулу для $x > 0$, воспользуемся свойством четности. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. По определению четной функции $f(x) = f(-x)$.Так как для отрицательных аргументов, в данном случае для $-x$, функция задана, мы можем подставить $-x$ в известную формулу:$f(-x) = -\frac{3}{(-x)} = \frac{3}{x}$.Следовательно, при $x > 0$ имеем $f(x) = \frac{3}{x}$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \frac{3}{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$Эту функцию можно также записать в едином виде с использованием модуля: $f(x) = \frac{3}{|x|}$.

Для построения графика выполним следующие шаги:
1. Строим график функции $y = -\frac{3}{x}$ для $x < 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Она проходит через точки, например, $(-1; 3)$, $(-3; 1)$, $(-0.5; 6)$.
2. Строим график функции $y = \frac{3}{x}$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Она проходит через точки, например, $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(0.5; 6)$.
Так как функция четная, второй шаг можно выполнить, просто отразив график, построенный на первом шаге, симметрично относительно оси $Oy$.

График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y=f(x)$ состоит из двух ветвей. Для $x<0$ это график $y = -3/x$ (ветвь гиперболы во II четверти), а для $x>0$ это график $y = 3/x$ (ветвь гиперболы в I четверти). График симметричен относительно оси $Oy$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

Исследуйте функцию

Проведем исследование функции $f(x) = \frac{3}{|x|}$ по свойствам.

1. Область определения функции:
Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $|x| \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность:
По условию функция является четной. Проверка: $f(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|} = f(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$: $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью $Oy$ нет.
С осью $Ox$: $f(x) = 0 \implies \frac{3}{|x|} = 0$. Данное уравнение не имеет решений, следовательно, пересечений с осью $Ox$ нет.

4. Промежутки знакопостоянства:
Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, и числитель $3>0$, то $f(x) = \frac{3}{|x|} > 0$ при всех $x \in D(f)$.
Функция положительна на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Асимптоты:
Вертикальная асимптота: исследуем поведение функции вблизи точки разрыва $x=0$.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3}{|x|} = +\infty$.
Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
Горизонтальная асимптота: исследуем поведение функции на бесконечности.
$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{|x|} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

6. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума:
Найдем производную функции, раскрыв модуль:
При $x > 0$, $f(x) = \frac{3}{x}$, тогда $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$, то $f'(x) < 0$. Функция убывает на $(0; +\infty)$.
При $x < 0$, $f(x) = -\frac{3}{x}$, тогда $f'(x) = (-\frac{3}{x})' = -3(x^{-1})' = -3(-1)x^{-2} = \frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$, то $f'(x) > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.
Производная нигде не равна нулю и определена на всей области определения функции. Точек экстремума у функции нет.

7. Область значений функции:
Так как $f(x)>0$ и может принимать сколь угодно большие значения (при $x \to 0$), а также сколь угодно малые положительные значения (при $x \to \pm\infty$), область значений функции:
$E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Свойства функции $f(x)$:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четная.
3. Не пересекает оси координат.
4. Положительна на всей области определения.
5. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=0$ (горизонтальная).
6. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Экстремумов нет.
7. Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.