Номер 11, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (2)

Четная функция $f(x)$ задана на множестве $[-6;6]$. Уравнение $f(x)=7$ имеет 3 корня на промежутке $x \in (0;6]$. Сколько корней имеет уравнение $f(x)=7$ на промежутке $x \in [-6;0)$?

По определению, четная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого значения $x$ из ее области определения. Область определения функции, указанная как $[-6, 6]$, является симметричной относительно нуля. Геометрически это свойство означает, что график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Согласно условию задачи, уравнение $f(x) = 7$ имеет 3 корня на промежутке $x \in (0, 6]$. Обозначим эти корни как $x_1, x_2, x_3$. Это значит, что $f(x_1) = 7$, $f(x_2) = 7$ и $f(x_3) = 7$. Важно, что все эти корни являются различными и строго положительными числами, поскольку они принадлежат интервалу $(0, 6]$.

Теперь воспользуемся свойством четности функции, чтобы найти корни на симметричном промежутке $[-6, 0)$. Для каждого положительного корня $x_k$ (где $k$ может быть 1, 2 или 3), для которого $f(x_k) = 7$, существует соответствующее ему отрицательное значение $-x_k$, для которого также будет выполняться равенство $f(-x_k) = f(x_k) = 7$.

Таким образом, мы получаем три новых корня уравнения: $-x_1, -x_2$ и $-x_3$. Определим, в каком промежутке они находятся. Поскольку для исходных корней выполняется условие $0 < x_k \le 6$, то для их противоположных значений $-x_k$ будет справедливо двойное неравенство $-6 \le -x_k < 0$. Это означает, что все три найденных корня $-x_1, -x_2, -x_3$ лежат в искомом промежутке $[-6, 0)$.

Так как корни $x_1, x_2, x_3$ различны между собой, то и корни $-x_1, -x_2, -x_3$ также будут различны. Следовательно, на промежутке $[-6, 0)$ есть как минимум 3 корня.

Чтобы доказать, что других корней на этом промежутке нет, предположим обратное: пусть на промежутке $[-6, 0)$ существует еще один корень $x_4$, отличный от $-x_1, -x_2, -x_3$. Тогда в силу четности функции ему бы соответствовал положительный корень $-x_4$, который бы лежал в промежутке $(0, 6]$. Это бы означало, что на промежутке $(0, 6]$ имеется уже четыре корня, что противоречит условию задачи, где говорится ровно о трех корнях. Следовательно, наше предположение неверно, и других корней на промежутке $[-6, 0)$ нет.

Таким образом, уравнение $f(x) = 7$ на промежутке $x \in [-6, 0)$ имеет ровно 3 корня.

Ответ: 3