Номер 4, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2) $g(x) = \frac{|x-9|}{(x+2)} + \frac{|x+9|}{(x-2)}$

Дано уравнение: $2g(x) = \frac{|x-9|}{x+2} + \frac{|x+9|}{x-2}$.

Для того чтобы найти явный вид функции $g(x)$, необходимо раскрыть модули. Выражения под модулями, $|x-9|$ и $|x+9|$, обращаются в ноль при $x=9$ и $x=-9$ соответственно. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, в каждом из которых мы рассмотрим функцию.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Выразим $g(x)$ из исходного уравнения, предварительно приведя дроби в правой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$:
$2g(x) = \frac{|x-9|(x-2) + |x+9|(x+2)}{x^2-4}$
$g(x) = \frac{|x-9|(x-2) + |x+9|(x+2)}{2(x^2-4)}$

Теперь рассмотрим функцию на каждом из интервалов.

Случай 1: $x < -9$
На этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x-9 < 0$ и $x+9 < 0$.
Следовательно, $|x-9| = -(x-9) = 9-x$ и $|x+9| = -(x+9) = -x-9$.
Подставим эти значения в выражение для $g(x)$:
$g(x) = \frac{(9-x)(x-2) + (-x-9)(x+2)}{2(x^2 - 4)} = \frac{(-x^2 + 11x - 18) - (x^2 + 11x + 18)}{2(x^2 - 4)} = \frac{-2x^2 - 36}{2(x^2 - 4)} = -\frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}$.

Случай 2: $-9 \le x < 9$
На этом интервале $x-9 < 0$, но $x+9 \ge 0$. (Также помним, что $x \neq -2$ и $x \neq 2$).
Следовательно, $|x-9| = -(x-9) = 9-x$ и $|x+9| = x+9$.
Подставляем в выражение для $g(x)$:
$g(x) = \frac{(9-x)(x-2) + (x+9)(x+2)}{2(x^2 - 4)} = \frac{(-x^2 + 11x - 18) + (x^2 + 11x + 18)}{2(x^2 - 4)} = \frac{22x}{2(x^2 - 4)} = \frac{11x}{x^2 - 4}$.

Случай 3: $x \ge 9$
На этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x-9 \ge 0$ и $x+9 > 0$.
Следовательно, $|x-9| = x-9$ и $|x+9| = x+9$.
Подставляем в выражение для $g(x)$:
$g(x) = \frac{(x-9)(x-2) + (x+9)(x+2)}{2(x^2 - 4)} = \frac{(x^2 - 11x + 18) + (x^2 + 11x + 18)}{2(x^2 - 4)} = \frac{2x^2 + 36}{2(x^2 - 4)} = \frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}$.

Объединив результаты, мы получаем итоговое выражение для функции $g(x)$ в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $g(x) = \begin{cases} -\frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}, & \text{если } x < -9 \\ \frac{11x}{x^2 - 4}, & \text{если } -9 \le x < 9, x \neq \pm 2 \\ \frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}, & \text{если } x \ge 9 \end{cases}$