Номер 9, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (2) Известно, что $f(x)$ – четная функция, возрастающая на интервале $(-3; -1)$. Можно ли что-нибудь сказать о характере монотонности $f(x)$ на интервале:

а) $(0;6)$;

б) $(-4;0)$;

в) $(1;3)$?

Для решения задачи воспользуемся определением четной функции и свойством монотонности.Функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).Функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-3, -1)$, это означает, что для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Свойство симметрии четных функций позволяет определить характер монотонности на интервале, симметричном данному. Интервал $(1, 3)$ симметричен интервалу $(-3, -1)$ относительно точки $x=0$.Пусть $x'_1$ и $x'_2$ — две произвольные точки из интервала $(1, 3)$, причем $1 < x'_1 < x'_2 < 3$.Рассмотрим соответствующие им симметричные точки $x_1 = -x'_2$ и $x_2 = -x'_1$.Из неравенства $1 < x'_1 < x'_2 < 3$ следует, что $-3 < -x'_2 < -x'_1 < -1$.Таким образом, точки $x_1$ и $x_2$ принадлежат интервалу $(-3, -1)$, на котором функция $f(x)$ возрастает, и при этом $x_1 < x_2$.Следовательно, $f(x_1) < f(x_2)$.Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:$f(-x'_2) < f(-x'_1)$.Используя свойство четности $f(-x) = f(x)$, получаем:$f(x'_2) < f(x'_1)$, или $f(x'_1) > f(x'_2)$.Мы получили, что для любых $x'_1 < x'_2$ из интервала $(1, 3)$ выполняется $f(x'_1) > f(x'_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на интервале $(1, 3)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных интервалов.

а) Рассмотрим интервал $(0; 6)$. Этот интервал содержит в себе интервал $(1, 3)$, на котором, как мы установили, функция убывает. Однако, на части этого интервала, например на $(3, 6)$, поведение функции неизвестно. Она может как продолжать убывать, так и начать возрастать. Поскольку на разных частях интервала $(0, 6)$ функция может иметь разный характер монотонности, сделать однозначный вывод о ее поведении на всем интервале $(0, 6)$ нельзя.

Ответ: Определить характер монотонности на данном интервале невозможно.

б) Рассмотрим интервал $(-4; 0)$. Этот интервал содержит в себе интервал $(-3, -1)$, на котором по условию функция возрастает. Однако, на частях этого интервала, а именно на $(-4, -3]$ и $[-1, 0)$, поведение функции неизвестно. Например, на $(-4, -3]$ функция может убывать. Следовательно, сделать однозначный вывод о характере монотонности на всем интервале $(-4, 0)$ нельзя.

Ответ: Определить характер монотонности на данном интервале невозможно.

в) Рассмотрим интервал $(1; 3)$. Как было подробно показано в начальном рассуждении, из того, что функция $f(x)$ является четной и возрастает на $(-3, -1)$, напрямую следует, что на симметричном интервале $(1, 3)$ она будет убывать.

Ответ: На интервале $(1, 3)$ функция $f(x)$ убывает.