Номер 6, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. $(2)g(x)=(x-5)^9(x+2)^5+(x+5)^9(x-2)^5$

6.

В задаче дана функция $g(x)$, определенная через следующее уравнение:

$2g(x) = (x-5)^9 (x+2)^5 + (x+5)^9 (x-2)^5$

Наиболее вероятный вопрос к такому заданию — это исследование функции на чётность или нечётность. Для этого нужно проверить, как изменится значение функции, если заменить аргумент $x$ на $-x$.

Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Найдём выражение для $2g(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходное уравнение:

$2g(-x) = ((-x)-5)^9 ((-x)+2)^5 + ((-x)+5)^9 ((-x)-2)^5$

Теперь упростим выражения в скобках, вынося знак минус:

$(-x-5) = -(x+5)$

$(-x+2) = -(x-2)$

$(-x+5) = 5-x = -(x-5)$

$(-x-2) = -(x+2)$

Подставим эти выражения обратно в уравнение для $2g(-x)$:

$2g(-x) = (-(x+5))^9 (-(x-2))^5 + (-(x-5))^9 (-(x+2))^5$

Воспользуемся свойством степени: $(-a)^n = (-1)^n a^n$. Поскольку степени 9 и 5 — нечётные числа, то $(-1)^9 = -1$ и $(-1)^5 = -1$.

$2g(-x) = ((-1)^9 (x+5)^9) \cdot ((-1)^5 (x-2)^5) + ((-1)^9 (x-5)^9) \cdot ((-1)^5 (x+2)^5)$

$2g(-x) = (-1 \cdot (x+5)^9) \cdot (-1 \cdot (x-2)^5) + (-1 \cdot (x-5)^9) \cdot (-1 \cdot (x+2)^5)$

Перемножим коэффициенты $(-1)$ в каждом слагаемом:

$2g(-x) = ((-1) \cdot (-1)) (x+5)^9 (x-2)^5 + ((-1) \cdot (-1)) (x-5)^9 (x+2)^5$

$2g(-x) = 1 \cdot (x+5)^9 (x-2)^5 + 1 \cdot (x-5)^9 (x+2)^5$

$2g(-x) = (x+5)^9 (x-2)^5 + (x-5)^9 (x+2)^5$

Сравним полученное выражение для $2g(-x)$ с исходным выражением для $2g(x)$:

$2g(x) = (x-5)^9 (x+2)^5 + (x+5)^9 (x-2)^5$

Благодаря коммутативности (переместительности) сложения, мы видим, что правые части выражений для $2g(-x)$ и $2g(x)$ идентичны.

Следовательно, мы можем заключить, что $2g(-x) = 2g(x)$.

Разделив обе части этого равенства на 2, получаем:

$g(-x) = g(x)$

Это равенство является определением чётной функции. Таким образом, функция $g(x)$ является чётной.

Ответ: Функция $g(x)$ является чётной.