Номер 1, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Исследуйте функцию на четность (1-8):

1. (1)а) $f(x)=x$;

б) $f(x)=x^2$;

в) $f(x)=|x|$;

г) $f(x)=x|x|$;

д) $f(x)=x+|x|$.

Для исследования функции $f(x)$ на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).

2. Должно выполняться одно из равенств:

- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения – в этом случае функция является четной.

- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения – в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Все представленные функции определены на всей числовой оси $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая является симметричной областью.

а) $f(x) = x$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = -x$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$: $-f(x) = -x$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

б) $f(x) = x^2$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.

Сравним полученное выражение с $f(x)$: $f(x) = x^2$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) $f(x) = |x|$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = |-x|$.

По свойству модуля $|-a| = |a|$, поэтому $f(-x) = |x|$.

Сравним полученное выражение с $f(x)$: $f(x) = |x|$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) $f(x) = x|x|$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)|-x|$.

Так как $|-x| = |x|$, то $f(-x) = -x|x|$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$: $-f(x) = -(x|x|) = -x|x|$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

д) $f(x) = x + |x|$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x) + |-x| = -x + |x|$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -x + |x|$

$f(x) = x + |x|$

Равенство $f(-x) = f(x)$ не выполняется, так как $-x+|x| \neq x+|x|$ для $x \neq 0$. Значит, функция не является четной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$f(-x) = -x + |x|$

$-f(x) = -(x + |x|) = -x - |x|$

Равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняется, так как $-x+|x| \neq -x-|x|$ для $x \neq 0$. Значит, функция не является нечетной.

Так как не выполняется ни одно из условий, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.