Номер 3, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Рассмотрим функции $g(x) = x^2 + 4x^6$, $h(x)=|x|$ на их естественной области определения. Сравните между собой значения $g(x)$ и $g(-x)$, $h(x)$ и $h(-x)$. Что можно сказать о значениях этих функций в противоположных точках? Какие выводы можно сделать о структуре графиков этих функций?

Сравните между собой значения g(x) и g(-x), h(x) и h(-x).
Для функции $g(x) = x^2 + 4x^6$, естественной областью определения которой является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), найдем значение $g(-x)$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:
$g(-x) = (-x)^2 + 4(-x)^6$.
Так как показатели степеней 2 и 6 являются четными числами, то $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^6 = x^6$. Таким образом, выражение принимает вид:
$g(-x) = x^2 + 4x^6$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $g(x)$, мы видим, что $g(-x) = g(x)$.

Для функции $h(x) = |x|$, естественная область определения которой также является множеством всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), найдем значение $h(-x)$:
$h(-x) = |-x|$.
По свойству модуля числа, $|-x| = |x|$. Следовательно,
$h(-x) = |x|$.
Сравнивая с исходной функцией $h(x)$, мы видим, что $h(-x) = h(x)$.

Ответ: Для обеих функций значения в точках $x$ и $-x$ равны: $g(x) = g(-x)$ и $h(x) = h(-x)$.

Что можно сказать о значениях этих функций в противоположных точках?
Противоположные точки на числовой оси — это точки $x$ и $-x$. Как было установлено в предыдущем пункте, для обеих функций выполняется равенство их значений в этих точках: $g(x) = g(-x)$ и $h(x) = h(-x)$ для любого $x$ из их области определения. Это свойство является определением четной функции.

Ответ: Значения этих функций в противоположных точках равны. Обе функции, $g(x)$ и $h(x)$, являются четными.

Какие выводы можно сделать о структуре графиков этих функций?
Свойство четности функции, то есть выполнение равенства $f(-x) = f(x)$, имеет четкую геометрическую интерпретацию. Оно означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это происходит потому, что для каждой точки $(x, y)$ на графике существует симметричная ей точка $(-x, y)$, которая также лежит на графике. Так как обе функции, $g(x)$ и $h(x)$, являются четными, их графики обладают этим свойством симметрии.

Ответ: Графики функций $g(x) = x^2 + 4x^6$ и $h(x) = |x|$ симметричны относительно оси ординат ($Oy$).