Номер 7, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) Материальная точка $M$ колеблется относительно положения равновесия. На рисунке ниже изображен график зависимости величины $h$ от времени $t$, где $h$ – это расстояние от точки $M$ до некоторой покоящейся точки $A$. Одно деление по оси $h$ соответствует 1 метру, по оси $t$ одно деление соответствует 1 секунде.

Предполагая, что колебания происходят без потери энергии, выполнить следующие задания.

a) Определите наибольшее значение, которого может достигать расстояние $AM$, опишите моменты времени, в которые достигается наибольшее значение.

б) Определите наименьшее значение, которого может достигать расстояние $AM$, опишите моменты времени, в которые достигается наименьшее значение.

в) Опишите периоды, в течение которых расстояние $AM$ уменьшается; опишите периоды, в течение которых расстояние $AM$ увеличивается.

a) Наибольшее значение расстояния $AM$, которое можно определить по графику, соответствует пикам (максимумам) кривой. По оси $h$ пики находятся на отметке 9 делений. Поскольку одно деление по оси $h$ соответствует 1 метру, наибольшее значение расстояния $AM$ составляет 9 метров. Чтобы найти моменты времени, когда это происходит, посмотрим на ось $t$. Первый пик достигается в момент времени $t=0$ с. Следующий пик — при $t=4$ с, затем при $t=8$ с и так далее. Период колебаний $T$ (время между двумя последовательными пиками) равен $4 - 0 = 4$ с. Таким образом, моменты времени, когда расстояние $AM$ максимально, можно описать общей формулой.
Ответ: наибольшее значение расстояния $AM$ равно 9 м. Оно достигается в моменты времени $t = 4k$ с, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

б) Наименьшее значение расстояния $AM$ соответствует впадинам (минимумам) на графике. По оси $h$ впадины находятся на отметке 1 деление, что соответствует 1 метру. Первая впадина на графике наблюдается в момент времени $t=2$ с. Следующая впадина — при $t=6$ с, затем при $t=10$ с и так далее. Эти моменты времени также повторяются с периодом $T=4$ с. Общая формула для моментов времени, когда достигается наименьшее значение, имеет вид $t = 2 + 4k$.
Ответ: наименьшее значение расстояния $AM$ равно 1 м. Оно достигается в моменты времени $t = 2 + 4k$ с, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

в) Расстояние $AM$ уменьшается на тех участках, где график идет вниз, то есть от пика к впадине. Первый такой период — от $t=0$ с до $t=2$ с. Второй — от $t=4$ с до $t=6$ с. В общем виде, эти периоды можно записать как интервалы $[4k, 2+4k]$ с.
Расстояние $AM$ увеличивается на тех участках, где график идет вверх, то есть от впадины к пику. Первый такой период — от $t=2$ с до $t=4$ с. Второй — от $t=6$ с до $t=8$ с. В общем виде, эти периоды можно записать как интервалы $[2+4k, 4+4k]$ с или $[2+4k, 4(k+1)]$ с.
Ответ: расстояние $AM$ уменьшается в периоды времени $[4k, 2+4k]$ с; расстояние $AM$ увеличивается в периоды времени $[2+4k, 4(k+1)]$ с, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.