Номер 4, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (1) Известно, что общее сопротивление системы из двух параллельно соединенных сопротивлений $R_1$ и $R_2$ связано с данными сопротивлениями формулой $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Пусть $R_1 = \text{const}$, $R_2$ – переменная величина.

a) Увеличивается или уменьшается величина $R$, если $R_2$ увеличивается?

б) Выразите величину $R$ как функцию от переменной $R_2 = x$.

в) Возрастающей или убывающей является функция $R(x)$?

г) Предположим, что $R_2$ неограниченно возрастает. Что происходит с величиной $R$?

а) Увеличивается или уменьшается величина $R$, если $R_2$ увеличивается?

• Проанализируем формулу $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.
• При увеличении $R_2$ дробь $\frac{1}{R_2}$ уменьшается.
• Следовательно, сумма $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ также уменьшается (так как $R_1$ постоянно).
• Если величина $\frac{1}{R}$ уменьшается, то сама величина $R$ увеличивается.

б) Выразите величину $R$ как функцию от переменной $R_2 = x$

• Приведем правую часть к общему знаменателю: $$\frac{1}{R} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 \cdot R_2}$$
• Перевернем дробь, чтобы найти $R$: $$R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$
• Заменим $R_2$ на $x$: $R(x) = \frac{R_1 x}{x + R_1}$.

в) Возрастающей или убывающей является функция $R(x)$?

• Преобразуем выражение: $R(x) = \frac{R_1 x + R_1^2 - R_1^2}{x + R_1} = \frac{R_1(x + R_1) - R_1^2}{x + R_1} = R_1 - \frac{R_1^2}{x + R_1}$.
• При росте $x$ знаменатель $(x + R_1)$ растет, значит дробь $\frac{R_1^2}{x + R_1}$ уменьшается.
• Вычитая все меньшее число из константы $R_1$, мы получаем все большее значение.
• Ответ: Функция $R(x)$ является возрастающей.

г) Что происходит с величиной $R$, если $R_2$ неограниченно возрастает?

• Рассмотрим предел функции при $x \to \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \left( R_1 - \frac{R_1^2}{x + R_1} \right)$$
• Так как $\frac{R_1^2}{x + R_1} \to 0$, предел равен $R_1$.
• Ответ: Величина $R$ стремится к значению $R_1$ (оставаясь всегда чуть меньше него).