Номер 3, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Может ли какой-нибудь локальный минимум функции оказаться больше какого-нибудь локального максимума? Обязательно ли локальный максимум функции является наибольшим значением функции?

Может ли какой-нибудь локальный минимум функции оказаться больше какого-нибудь локального максимума?

Да, локальный минимум функции может быть больше локального максимума. Понятия локального минимума и максимума (экстремумов) характеризуют поведение функции лишь в некоторой малой окрестности точки, а не на всей области определения.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = x + 2\sin(x)$. Ее производная равна $f'(x) = 1 + 2\cos(x)$.

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: $1 + 2\cos(x) = 0$, откуда $\cos(x) = -1/2$.

Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Найдем вторую производную для определения характера экстремумов: $f''(x) = -2\sin(x)$.

1. Возьмем точку $x_1 = \frac{2\pi}{3}$. В ней $f''(x_1) = -2\sin(\frac{2\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} < 0$. Следовательно, в точке $x_1$ функция имеет локальный максимум. Значение функции в этой точке: $f(x_1) = \frac{2\pi}{3} + 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

2. Возьмем точку $x_2 = \frac{4\pi}{3}$. В ней $f''(x_2) = -2\sin(\frac{4\pi}{3}) = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} > 0$. Следовательно, в точке $x_2$ функция имеет локальный минимум. Значение функции в этой точке: $f(x_2) = \frac{4\pi}{3} + 2\sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

Пока что локальный минимум $f(x_2) \approx 4.18 - 1.73 = 2.45$ меньше локального максимума $f(x_1) \approx 2.09 + 1.73 = 3.82$.

3. Однако рассмотрим следующий локальный минимум. Он будет в точке $x_3 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. В этой точке значение функции (локальный минимум) равно: $f(x_3) = \frac{10\pi}{3} + 2\sin(\frac{10\pi}{3}) = \frac{10\pi}{3} - \sqrt{3} \approx 10.47 - 1.73 = 8.74$.

Теперь сравним этот локальный минимум со значением локального максимума в точке $x_1$: $f(x_3) \approx 8.74$ и $f(x_1) \approx 3.82$. Очевидно, что $f(x_3) > f(x_1)$. Таким образом, мы нашли локальный минимум, который больше локального максимума.

Ответ: Да, может.

Обязательно ли локальный максимум функции является наибольшим значением функции?

Нет, не обязательно. Локальный максимум является наибольшим значением функции лишь в некоторой окрестности этой точки. Наибольшее значение функции (или глобальный максимум) — это самое большое значение, которое функция принимает на всей своей области определения.

В качестве примера можно снова использовать функцию $f(x) = x + 2\sin(x)$ из предыдущего пункта. Мы установили, что в точке $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ у этой функции есть локальный максимум, равный $f(x_1) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Однако эта функция не ограничена сверху. Найдем ее предел при $x \to \infty$:$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} (x + 2\sin(x))$.

Поскольку значение $2\sin(x)$ колеблется в пределах от -2 до 2, а слагаемое $x$ неограниченно растет, то предел равен бесконечности: $\lim_{x\to\infty} (x + 2\sin(x)) = \infty$.

Это означает, что у функции $f(x)$ вообще не существует наибольшего значения (глобального максимума). Следовательно, ее локальный максимум не может являться наибольшим значением.

Ответ: Нет, не обязательно.