Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Может ли какой-нибудь локальный минимум функции оказаться больше какого-нибудь локального максимума? Обязательно ли локальный максимум функции является наибольшим значением функции?

Может ли какой-нибудь локальный минимум функции оказаться больше какого-нибудь локального максимума?

Да, локальный минимум функции может быть больше локального максимума. Понятия локального минимума и максимума (экстремумов) характеризуют поведение функции лишь в некоторой малой окрестности точки, а не на всей области определения.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = x + 2\sin(x)$. Ее производная равна $f'(x) = 1 + 2\cos(x)$.

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: $1 + 2\cos(x) = 0$, откуда $\cos(x) = -1/2$.

Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Найдем вторую производную для определения характера экстремумов: $f''(x) = -2\sin(x)$.

1. Возьмем точку $x_1 = \frac{2\pi}{3}$. В ней $f''(x_1) = -2\sin(\frac{2\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} < 0$. Следовательно, в точке $x_1$ функция имеет локальный максимум. Значение функции в этой точке: $f(x_1) = \frac{2\pi}{3} + 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

2. Возьмем точку $x_2 = \frac{4\pi}{3}$. В ней $f''(x_2) = -2\sin(\frac{4\pi}{3}) = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} > 0$. Следовательно, в точке $x_2$ функция имеет локальный минимум. Значение функции в этой точке: $f(x_2) = \frac{4\pi}{3} + 2\sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

Пока что локальный минимум $f(x_2) \approx 4.18 - 1.73 = 2.45$ меньше локального максимума $f(x_1) \approx 2.09 + 1.73 = 3.82$.

3. Однако рассмотрим следующий локальный минимум. Он будет в точке $x_3 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. В этой точке значение функции (локальный минимум) равно: $f(x_3) = \frac{10\pi}{3} + 2\sin(\frac{10\pi}{3}) = \frac{10\pi}{3} - \sqrt{3} \approx 10.47 - 1.73 = 8.74$.

Теперь сравним этот локальный минимум со значением локального максимума в точке $x_1$: $f(x_3) \approx 8.74$ и $f(x_1) \approx 3.82$. Очевидно, что $f(x_3) > f(x_1)$. Таким образом, мы нашли локальный минимум, который больше локального максимума.

Ответ: Да, может.

Обязательно ли локальный максимум функции является наибольшим значением функции?

Нет, не обязательно. Локальный максимум является наибольшим значением функции лишь в некоторой окрестности этой точки. Наибольшее значение функции (или глобальный максимум) — это самое большое значение, которое функция принимает на всей своей области определения.

В качестве примера можно снова использовать функцию $f(x) = x + 2\sin(x)$ из предыдущего пункта. Мы установили, что в точке $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ у этой функции есть локальный максимум, равный $f(x_1) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Однако эта функция не ограничена сверху. Найдем ее предел при $x \to \infty$:$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} (x + 2\sin(x))$.

Поскольку значение $2\sin(x)$ колеблется в пределах от -2 до 2, а слагаемое $x$ неограниченно растет, то предел равен бесконечности: $\lim_{x\to\infty} (x + 2\sin(x)) = \infty$.

Это означает, что у функции $f(x)$ вообще не существует наибольшего значения (глобального максимума). Следовательно, ее локальный максимум не может являться наибольшим значением.

Ответ: Нет, не обязательно.

8. (3) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{5x}$;

в) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$;

г) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{\sin nx}$;

д) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a}$.

a) Для вычисления этого предела воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$. Чтобы привести наш предел к этому виду, домножим и разделим выражение под знаком предела на 2.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin 2x}{2x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $.Сделаем замену переменной $t = 2x$. При $x \to 0$, переменная $t$ также стремится к 0.$ 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 2 \cdot 1 = 2 $.Ответ: 2

б) Этот предел похож на предыдущий. Вынесем константу $\frac{1}{5}$ за знак предела и используем тот же подход, что и в пункте а).$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{5x} = \frac{1}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \frac{1}{5} \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin 2x}{2x} = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $.Применяя первый замечательный предел ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$), получаем:$ \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5} $.Ответ: $\frac{2}{5}$

в) В данном случае мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на $x$ и воспользуемся свойством предела частного.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}} $.Теперь вычислим предел числителя и знаменателя отдельно, используя первый замечательный предел:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x} = 2 $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5 \sin 5x}{5x} = 5 $.Таким образом, исходный предел равен:$ \frac{2}{5} $.Ответ: $\frac{2}{5}$

г) Эта задача является обобщением предыдущей. Решим ее аналогичным методом, разделив числитель и знаменатель на $x$.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{\sin nx} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{x}} $.Вычислим пределы для числителя и знаменателя:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{m \cdot \sin mx}{mx} = m \cdot 1 = m $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{n \cdot \sin nx}{nx} = n \cdot 1 = n $.Тогда искомый предел равен отношению этих значений (при условии $n \neq 0$):$ \frac{m}{n} $.Ответ: $\frac{m}{n}$

д) Данный предел представляет собой определение производной для функции $f(x) = \sin x$ в точке $a$.Напомним определение производной: $ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $.В нашем случае $f(x) = \sin x$, и мы ищем предел $ \lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a} $.Это в точности производная функции $\sin x$ в точке $a$.Найдем производную функции $f(x) = \sin x$:$ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $.Теперь подставим значение $x=a$ в производную:$ f'(a) = \cos a $.Следовательно, значение предела равно $\cos a$.Ответ: $\cos a$

9. (1) Определите значения пределов:

a) $lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x^2+5x+2};$

б) $lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{(x+2)(4x-1)};$

в) $lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} + \frac{5x+1}{3x+2});$

г) $lim_{x \to \infty} (\frac{2x-1}{3x} - \frac{5}{x^2}).$

а) Для нахождения предела рациональной функции при $x \to \infty$, когда степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю. В данном случае степень числителя равна 1 ($2x$), а степень знаменателя равна 2 ($x^2$). Чтобы показать это формально, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x^2+5x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}} $
Поскольку при $x \to \infty$ все слагаемые вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n > 0$) стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{0+0}{1+0+0} = \frac{0}{1} = 0 $
Ответ: 0

б) Сначала раскроем скобки в числителе и знаменателе, чтобы определить старшие степени многочленов.
Числитель: $(2x+1)(3x-1) = 6x^2-2x+3x-1 = 6x^2+x-1$.
Знаменатель: $(x+2)(4x-1) = 4x^2-x+8x-2 = 4x^2+7x-2$.
Таким образом, предел принимает вид:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2+x-1}{4x^2+7x-2} $
Здесь старшие степени числителя и знаменателя равны (обе равны 2). В этом случае предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Для формального решения разделим числитель и знаменатель на $x^2$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}-\frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{4+\frac{7}{x}-\frac{2}{x^2}} $
Учитывая, что члены со знаменателем, содержащим $x$, стремятся к нулю при $x \to \infty$, получаем:
$ \frac{6+0-0}{4+0-0} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

в) Используем свойство аддитивности предела (предел суммы равен сумме пределов):
$ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} + \frac{5x+1}{3x+2} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{3x+2} $
Вычислим каждый предел по отдельности:
1. $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $
2. Для второго предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{3x+2} $ степени числителя и знаменателя равны. Разделим числитель и знаменатель на $x$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{3x}{x}+\frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5+\frac{1}{x}}{3+\frac{2}{x}} = \frac{5+0}{3+0} = \frac{5}{3} $
Теперь сложим результаты:
$ 0 + \frac{5}{3} = \frac{5}{3} $
Ответ: $ \frac{5}{3} $

г) Используем свойство предела разности (предел разности равен разности пределов):
$ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x-1}{3x} - \frac{5}{x^2} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{3x} - \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^2} $
Вычислим каждый предел по отдельности:
1. Для первого предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{3x} $ разделим числитель и знаменатель на $x$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{3x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{1}{x}}{3} = \frac{2-0}{3} = \frac{2}{3} $
2. Второй предел: $ \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^2} = 0 $
Теперь найдем разность результатов:
$ \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $

10. (1) Вычислите значения пределов:

a) $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{(x+1)(x+3)}-x)$

б) $\lim_{x \to \infty}\frac{x+1}{\sqrt{4x^2+1}}$

а) Вычислим предел $ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{(x+1)(x+3)} - x) $.При подстановке бесконечности мы получаем неопределенность вида $ \infty - \infty $. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $ \sqrt{(x+1)(x+3)} + x $.$ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{(x+1)(x+3)} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{(x+1)(x+3)} - x)(\sqrt{(x+1)(x+3)} + x)}{\sqrt{(x+1)(x+3)} + x} $.В числителе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:$ (\sqrt{(x+1)(x+3)})^2 - x^2 = (x+1)(x+3) - x^2 = (x^2 + 3x + x + 3) - x^2 = x^2 + 4x + 3 - x^2 = 4x + 3 $.Таким образом, предел принимает вид:$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 3}{\sqrt{x^2 + 4x + 3} + x} $.Теперь мы имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на $ x $ в старшей степени, то есть на $ x^1 $.$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{4x + 3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x + 3} + x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x + 3}}{x} + \frac{x}{x}} $.Поскольку $ x \to +\infty $, то $ x > 0 $ и мы можем записать $ x = \sqrt{x^2} $. Внесем $ x $ под корень в знаменателе:$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x + 3}}{\sqrt{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} $.Так как при $ x \to +\infty $ выражения $ \frac{3}{x} $, $ \frac{4}{x} $ и $ \frac{3}{x^2} $ стремятся к нулю, получаем:$ \frac{4 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 $.Ответ: 2.

б) Вычислим предел $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{4x^2+1}} $.При $ x \to +\infty $ числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, следовательно, мы имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $ x $, то есть на $ x $.$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}} $.Преобразуем числитель: $ \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} $.Преобразуем знаменатель. Так как $ x \to +\infty $, то $ x > 0 $ и мы можем записать $ x = \sqrt{x^2} $.$ \frac{\sqrt{4x^2+1}}{x} = \frac{\sqrt{4x^2+1}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2}} = \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} $.Подставим преобразованные выражения обратно в предел:$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}} $.Поскольку при $ x \to +\infty $, выражения $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{1}{x^2} $ стремятся к нулю, получаем:$ \frac{1+0}{\sqrt{4+0}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $.Ответ: $ \frac{1}{2} $.

11. (2) Докажите, что при $a \ge 0$ имеет место равенство:

$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{ax})=0.$

Для доказательства данного равенства необходимо сделать предположение о наличии опечаток в условии, так как в исходном виде равенство не выполняется. Наиболее вероятная корректная формулировка задачи предполагает, что второй член под знаком предела равен $\sqrt{a}x$, а коэффициент $b=0$. Таким образом, докажем равенство $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x) = 0$ при $a \ge 0$.

Разобьем доказательство на два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$

Рассмотрим предел $L = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x)$.

При $x \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x)$.

$L = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x)(\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x)}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$:

$L = \lim_{x\to\infty} \frac{(ax^2+c) - (\sqrt{a}x)^2}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax^2+c-ax^2}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x} = \lim_{x\to\infty} \frac{c}{\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x}$

Поскольку $a > 0$, при $x \to \infty$ знаменатель $\sqrt{ax^2+c}+\sqrt{a}x$ стремится к бесконечности. Числитель является константой $c$. Предел отношения константы к бесконечно большой величине равен нулю.

$L = 0$

Таким образом, для случая $a > 0$ равенство доказано.

Случай 2: $a = 0$

Подставим $a=0$ в доказываемое выражение (с учетом предполагаемых исправлений):

$L = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{0 \cdot x^2+c}-\sqrt{0}x) = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{c}-0) = \sqrt{c}$

Для того чтобы выражение $\sqrt{c}$ было определено, необходимо, чтобы $c \ge 0$.

Согласно доказываемому равенству, предел должен быть равен 0. Следовательно, $\sqrt{c} = 0$, что возможно только при $c=0$.

Таким образом, при $a=0$ равенство выполняется только при дополнительном условии $c=0$.

Объединяя оба случая, мы доказали, что равенство верно для всех $a > 0$ и для $a=0$ при условии $c=0$.

Ответ: Равенство $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax})=0$ в исходной формулировке неверно. Если предположить, что в условии допущена опечатка и имелось в виду равенство $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2+c}-\sqrt{a}x) = 0$, то оно выполняется для всех $a > 0$ и для $a=0$ при $c=0$.

12. (2) Вычислите значения пределов:

a) $\lim_{x\to0} \frac{2x^2-5x+2}{4x-8}$;

б) $\lim_{x\to2} \frac{2x^2-5x+2}{4x-8}$;

в) $\lim_{x\to x_1} \frac{ax^2+bx+c}{x-x_1}$, где $x_1$ является корнем трехчлена $ax^2+bx+c$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 5x + 2}{4x - 8}$.

Поскольку функция, стоящая под знаком предела, является дробно-рациональной и непрерывной в точке $x=0$ (знаменатель не обращается в ноль), мы можем найти значение предела путем прямой подстановки $x=0$ в выражение:

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 5x + 2}{4x - 8} = \frac{2(0)^2 - 5(0) + 2}{4(0) - 8} = \frac{0 - 0 + 2}{0 - 8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Вычислим предел $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{4x - 8}$.

При подстановке $x=2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как числитель $2(2)^2 - 5(2) + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$ и знаменатель $4(2) - 8 = 8 - 8 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Знаменатель: $4x - 8 = 4(x-2)$.

Для разложения числителя $2x^2 - 5x + 2$ найдем его корни. Решая уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$, получаем корни $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $2(x-2)(x-\frac{1}{2}) = (x-2)(2x-1)$.

Подставим разложения в предел и сократим общий множитель $(x-2)$, так как $x \to 2$, но $x \neq 2$:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2x-1)}{4(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x-1}{4}$.

Теперь подставим $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{2(2)-1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to x_1} \frac{ax^2+bx+c}{x-x_1}$, где $x_1$ является корнем трехчлена $ax^2+bx+c$.

Из условия следует, что $ax_1^2 + bx_1 + c = 0$. При подстановке $x=x_1$ в предел получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Раскроем неопределенность, используя определение производной. Обозначим $P(x) = ax^2+bx+c$. Так как $P(x_1) = 0$, предел можно переписать в виде:

$\lim_{x \to x_1} \frac{P(x) - P(x_1)}{x-x_1}$.

Это выражение по определению является производной функции $P(x)$ в точке $x_1$, то есть $P'(x_1)$.

Найдем производную функции $P(x)$:

$P'(x) = (ax^2+bx+c)' = 2ax+b$.

Значение предела равно значению производной в точке $x_1$:

$P'(x_1) = 2ax_1+b$.

Другой способ — разложить числитель на множители. Если $x_1$ и $x_2$ — корни, то $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. Тогда:

$\lim_{x \to x_1} \frac{a(x-x_1)(x-x_2)}{x-x_1} = \lim_{x \to x_1} a(x-x_2) = a(x_1-x_2)$.

По теореме Виета $x_1+x_2 = -b/a$, откуда $x_2 = -x_1 - b/a$. Подставляя, получаем $a(x_1 - (-x_1 - b/a)) = a(2x_1 + b/a) = 2ax_1+b$.

Ответ: $2ax_1+b$.

13. (3) Вычислите значения пределов:

a) $ \lim_{x \to 0.5} \frac{4x^2 - 8x + 3}{2x^2 - 7x + 3}; $

б) $ \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 4}; $

В) $ \lim_{x \to 0.4} \frac{5x^3 - 2x^2 + 5x - 2}{5x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x}. $

а) Вычислим предел $\lim_{x \to 0.5} \frac{4x^2 - 8x + 3}{2x^2 - 7x + 3}$.
При подстановке предельного значения $x = 0.5$ в числитель и знаменатель дроби, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $4(0.5)^2 - 8(0.5) + 3 = 4 \cdot 0.25 - 4 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.
Знаменатель: $2(0.5)^2 - 7(0.5) + 3 = 2 \cdot 0.25 - 3.5 + 3 = 0.5 - 3.5 + 3 = 0$.
Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $x=0.5$ является корнем обоих многочленов, то $(x-0.5)$ или $(2x-1)$ является их общим множителем.
Разложим числитель $4x^2 - 8x + 3$. Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 8x + 3 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8}$, откуда $x_1 = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$ и $x_2 = \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.
Следовательно, $4x^2 - 8x + 3 = 4(x-0.5)(x-1.5) = (2x-1)(2x-3)$.
Разложим знаменатель $2x^2 - 7x + 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$, откуда $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Следовательно, $2x^2 - 7x + 3 = 2(x-0.5)(x-3) = (2x-1)(x-3)$.
Теперь можем вычислить предел:
$\lim_{x \to 0.5} \frac{(2x-1)(2x-3)}{(2x-1)(x-3)} = \lim_{x \to 0.5} \frac{2x-3}{x-3} = \frac{2 \cdot 0.5 - 3}{0.5 - 3} = \frac{1 - 3}{-2.5} = \frac{-2}{-2.5} = \frac{4}{5} = 0.8$.
Ответ: $0.8$.

б) Вычислим предел $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 4}$.
При подстановке $x = -2$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$:
Числитель: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель раскладываем по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.
Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.
Теперь можем вычислить предел:
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x-2} = \frac{(-2)^2 - 2(-2) + 4}{-2 - 2} = \frac{4 + 4 + 4}{-4} = \frac{12}{-4} = -3$.
Ответ: $-3$.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to 0.4} \frac{5x^3 - 2x^2 + 5x - 2}{5x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x}$.
При подстановке $x = 0.4$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$:
Числитель: $5(0.4)^3 - 2(0.4)^2 + 5(0.4) - 2 = 5(0.064) - 2(0.16) + 2 - 2 = 0.32 - 0.32 = 0$.
Знаменатель: $5(0.4)^4 - 2(0.4)^3 - 5(0.4)^2 + 2(0.4) = 5(0.0256) - 2(0.064) - 5(0.16) + 0.8 = 0.128 - 0.128 - 0.8 + 0.8 = 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $x=0.4$ является корнем, то $(x-0.4)$ или $(5x-2)$ является общим множителем.
Разложим числитель $5x^3 - 2x^2 + 5x - 2$ методом группировки:
$(5x^3 - 2x^2) + (5x - 2) = x^2(5x - 2) + 1(5x - 2) = (x^2+1)(5x-2)$.
Разложим знаменатель $5x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x$:
$x(5x^3 - 2x^2 - 5x + 2) = x(x^2(5x-2) - (5x-2)) = x(x^2-1)(5x-2) = x(x-1)(x+1)(5x-2)$.
Теперь можем вычислить предел:
$\lim_{x \to 0.4} \frac{(x^2+1)(5x-2)}{x(x-1)(x+1)(5x-2)} = \lim_{x \to 0.4} \frac{x^2+1}{x(x^2-1)} = \frac{(0.4)^2+1}{0.4((0.4)^2-1)} = \frac{0.16+1}{0.4(0.16-1)} = \frac{1.16}{0.4(-0.84)} = \frac{1.16}{-0.336} = -\frac{1160}{336}$.
Сократим дробь: $\frac{1160}{336} = \frac{580}{168} = \frac{290}{84} = \frac{145}{42}$.
Таким образом, предел равен $-\frac{145}{42}$.
Ответ: $-\frac{145}{42}$.

14. (2) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3}$;

б) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+18}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}$.

a) Вычислим предел $\lim_{x\to2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3}$.
При подстановке $x=2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\frac{2-2}{\sqrt{4 \cdot 2+1}-3} = \frac{0}{\sqrt{9}-3} = \frac{0}{0}$.
Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{4x+1}+3$.
$\lim_{x\to2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)}$
В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3) = (\sqrt{4x+1})^2 - 3^2 = 4x+1-9 = 4x-8 = 4(x-2)$.
Подставим полученное выражение обратно в предел:
$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)}$
Сократим дробь на $(x-2)$, так как $x \to 2$, но $x \neq 2$:
$\lim_{x\to2} \frac{\sqrt{4x+1}+3}{4}$
Теперь подставим значение $x=2$:
$\frac{\sqrt{4 \cdot 2+1}+3}{4} = \frac{\sqrt{9}+3}{4} = \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

б) Вычислим предел $\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}$.
При подстановке $x=3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\frac{\sqrt{3+13}-2\sqrt{3+1}}{3^2-9} = \frac{\sqrt{16}-2\sqrt{4}}{9-9} = \frac{4-2 \cdot 2}{0} = \frac{0}{0}$.
Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}$.
$\lim_{x\to3} \frac{(\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1})(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}{(x^2-9)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{x+13})^2 - (2\sqrt{x+1})^2 = (x+13) - 4(x+1) = x+13 - 4x - 4 = -3x+9 = -3(x-3)$.
Знаменатель $x^2-9$ также разложим по формуле разности квадратов: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Подставим полученные выражения обратно в предел:
$\lim_{x\to3} \frac{-3(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}$
Сократим дробь на $(x-3)$, так как $x \to 3$, но $x \neq 3$:
$\lim_{x\to3} \frac{-3}{(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}$
Теперь подставим значение $x=3$:
$\frac{-3}{(3+3)(\sqrt{3+13}+2\sqrt{3+1})} = \frac{-3}{6(\sqrt{16}+2\sqrt{4})} = \frac{-3}{6(4+2 \cdot 2)} = \frac{-3}{6(4+4)} = \frac{-3}{6 \cdot 8} = \frac{-3}{48} = -\frac{1}{16}$.
Ответ: $-\frac{1}{16}$.

15. (3) Вычислите значения пределов:

a) $lim_{x \to 0} \frac{tgx}{x}$;

б) $lim_{x \to 0} \frac{1 - cosx}{x^2}$;

в) $lim_{x \to 0} \frac{sin 5x - sin 3x}{sin x}$;

г) $lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a}$.

а) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}x}{x}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Подставим это в наш предел:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cdot \cos x} $$Теперь можно разбить это выражение на произведение двух пределов:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} $$Первый множитель — это первый замечательный предел, значение которого равно 1:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$Второй предел вычисляется прямой подстановкой значения $x=0$:$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1 $$Перемножая результаты, получаем итоговое значение:$$ 1 \cdot 1 = 1 $$Ответ: $1$.

б) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся тригонометрической формулой для косинуса двойного угла, из которой следует, что $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.
Подставим это выражение в предел:$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} $$Чтобы свести задачу к первому замечательному пределу, преобразуем знаменатель: $x^2 = 4 \cdot \frac{x^2}{4} = 4 \cdot (\frac{x}{2})^2$.$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{4(\frac{x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 $$Так как при $x \to 0$ переменная $u = \frac{x}{2}$ также стремится к нулю, мы можем применить первый замечательный предел $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$:$$ \frac{1}{2} \left(\lim_{\frac{x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} $$Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x}$. Здесь также неопределенность $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ и воспользуемся свойством предела $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x - \sin 3x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} $$Используя свойство предела частного, получаем:$$ \frac{\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 5x}{x} - \frac{\sin 3x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} $$Теперь используем свойство предела разности в числителе:$$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} $$Применяя для каждого предела формулу $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$, находим:$$ \frac{5 - 3}{1} = 2 $$Ответ: $2$.

г) Предел $\lim_{x \to a} \frac{\cos x - \cos a}{x - a}$ представляет собой определение производной функции $f(x) = \cos x$ в точке $x = a$.
Напомним, что производная функции $f(x)$ в точке $a$ определяется как:$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$В данном случае $f(x) = \cos x$, соответственно $f(a) = \cos a$.Таким образом, значение предела равно значению производной функции $f(x) = \cos x$ в точке $a$.Найдем производную:$$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$Теперь вычислим значение этой производной в точке $x = a$:$$ f'(a) = -\sin a $$Следовательно, искомый предел равен $-\sin a$.
Ответ: $-\sin a$.