Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1) Вычислите значения пределов:

а) $lim_{x \to \infty} \frac{7x+1}{3x-2}$; б) $lim_{x \to \infty} \frac{ax+c}{bx-d}$, где a, b, c и d - некоторые числа.

Сформулируйте общее утверждение, начиная со слов: «Отношение значений двух линейных функций...»

а) Для нахождения предела отношения двух многочленов при $x \to \infty$, когда их степени равны, можно использовать правило деления числителя и знаменателя на $x$ в старшей степени. В данном случае старшая степень равна 1.
Разделим числитель и знаменатель на $x$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{7x+1}{3x-2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{7x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{3x}{x}-\frac{2}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}}$
Поскольку при $x \to +\infty$, выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к 0, предел будет равен:
$\frac{7+0}{3-0} = \frac{7}{3}$
Ответ: $\frac{7}{3}$.

б) Данный предел является обобщением предыдущего случая для двух произвольных линейных функций $y_1=ax+c$ и $y_2=bx-d$. Предполагаем, что $b \neq 0$, чтобы знаменатель являлся линейной функцией и предел был конечным.
Применим тот же метод деления на $x$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{ax+c}{bx-d} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{ax}{x}+\frac{c}{x}}{\frac{bx}{x}-\frac{d}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{a+\frac{c}{x}}{b-\frac{d}{x}}$
Поскольку $a, b, c, d$ — это числа, то при $x \to +\infty$ выражения $\frac{c}{x}$ и $\frac{d}{x}$ стремятся к 0. Таким образом, получаем:
$\frac{a+0}{b-0} = \frac{a}{b}$
Ответ: $\frac{a}{b}$ (при $b \neq 0$).

Отношение значений двух линейных функций при стремлении аргумента к бесконечности имеет своим пределом отношение коэффициентов при переменной $x$ (угловых коэффициентов).

2. (1) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x - 5}{7x^2 + 1}$; б) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 10x + 7}{7x^2 + 1}$; в) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 100000000x}{7x^2 + 1}$,

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{a_1x^2 + b_1x + c_1}$. Сформулируйте общее утверждение.

а) Чтобы найти предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$, необходимо разделить числитель и знаменатель на самую высокую степень переменной $x$ в знаменателе. В данном случае это $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x-5}{7x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x}{x^2}-\frac{5}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}{7+\frac{1}{x^2}} $
Поскольку при $x \to \infty$ значения выражений, содержащих $x$ в знаменателе ($\frac{3}{x}$, $\frac{5}{x^2}$, $\frac{1}{x^2}$), стремятся к нулю, мы получаем:
$ \frac{0-0}{7+0} = \frac{0}{7} = 0 $
Ответ: 0

б) Здесь степени числителя и знаменателя равны. Применим тот же метод: разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2+10x+7}{7x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x^2}{x^2}+\frac{10x}{x^2}+\frac{7}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3+\frac{10}{x}+\frac{7}{x^2}}{7+\frac{1}{x^2}} $
При $x \to \infty$ дроби $\frac{10}{x}$, $\frac{7}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:
$ \frac{-3+0+0}{7+0} = -\frac{3}{7} $
Ответ: $-\frac{3}{7}$

в) Этот пример похож на предыдущий, несмотря на большой коэффициент при $x$. Метод решения остается прежним. Делим числитель и знаменатель на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2+1000000000x}{7x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x^2}{x^2}+\frac{1000000000x}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3+\frac{1000000000}{x}}{7+\frac{1}{x^2}} $
Так как $\frac{1000000000}{x} \to 0$ и $\frac{1}{x^2} \to 0$ при $x \to \infty$, получаем:
$ \frac{-3+0}{7+0} = -\frac{3}{7} $
Ответ: $-\frac{3}{7}$

г) Рассмотрим предел в общем виде для многочленов второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (при условии, что $a_1 \neq 0$).
$ \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx+c}{a_1x^2+b_1x+c_1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2}{x^2}+\frac{bx}{x^2}+\frac{c}{x^2}}{\frac{a_1x^2}{x^2}+\frac{b_1x}{x^2}+\frac{c_1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}{a_1+\frac{b_1}{x}+\frac{c_1}{x^2}} $
Все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю при $x \to \infty$. В результате получаем отношение коэффициентов при старших степенях:
$ \frac{a+0+0}{a_1+0+0} = \frac{a}{a_1} $
Ответ: $\frac{a}{a_1}$

Общее утверждение:
Предел отношения двух многочленов $P_n(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ и $Q_m(x) = b_m x^m + \dots + b_0$ (где $a_n \neq 0, b_m \neq 0$) при $x \to \infty$ зависит от соотношения их степеней $n$ и $m$:
1. Если степень числителя равна степени знаменателя ($n=m$), то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: $ \lim_{x \to \infty} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{a_n}{b_m} $.
2. Если степень числителя меньше степени знаменателя ($n3. Если степень числителя больше степени знаменателя ($n>m$), то предел равен бесконечности ($ \infty $ или $ -\infty $). Знак бесконечности определяется знаками старших коэффициентов $a_n$ и $b_m$.

3. (2) Используя общие утверждения задач 1 и 2, без вычислений опреде-лите пределы:

а) $\lim_{z\to\infty} \frac{4-60z}{12z+4000}$

б) $\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2+3x+1}{2x^2-1}$

а) Для вычисления предела $\lim_{z \to \infty} \frac{4 - 60z}{12z + 4000}$ мы рассматриваем отношение двух многочленов. Согласно общему утверждению о пределах рациональных функций на бесконечности, если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной.
В числителе $P(z) = 4 - 60z$ старшая степень переменной $z$ равна 1, а коэффициент при ней равен $-60$.
В знаменателе $Q(z) = 12z + 4000$ старшая степень переменной $z$ также равна 1, а коэффициент при ней равен $12$.
Поскольку степени многочленов совпадают ($1 = 1$), предел равен отношению их старших коэффициентов: $\frac{-60}{12} = -5$.
Ответ: $-5$

б) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 1}{2x^2 - 1}$ мы применяем то же самое общее утверждение.
Степень многочлена в числителе $P(x) = 4x^2 + 3x + 1$ равна 2, а старший коэффициент при $x^2$ равен $4$.
Степень многочлена в знаменателе $Q(x) = 2x^2 - 1$ также равна 2, а старший коэффициент при $x^2$ равен $2$.
Так как старшие степени числителя и знаменателя равны ($2 = 2$), предел равен отношению коэффициентов при этих степенях: $\frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$

4. (2) Вычислите значения пределов:

a) $\lim_{z\to\infty} \frac{4-60z}{12z^2+4000}$;

б) $\lim_{z\to\infty} \frac{12z^2+4000}{4-60z}$;

в) $\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2+3x+1}{20x^3-1}$;

г) $\lim_{x\to\infty} \frac{20x^3-1}{4x^2+3x+1}$;

д) $\lim_{x\to\infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0}$ при различных случаях $n=m$, $nm$, где $n$ и $m$ - натуральные числа. Сформулируйте общее утверждение, начиная со слов: «Отношение значений двух многочленов...»

а) Для вычисления предела отношения двух многочленов при $z \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $z^2$:
$lim_{z \to \infty} \frac{4-60z}{12z^2+4000} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{4}{z^2}-\frac{60z}{z^2}}{\frac{12z^2}{z^2}+\frac{4000}{z^2}} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{4}{z^2}-\frac{60}{z}}{12+\frac{4000}{z^2}}$
Так как при $z \to \infty$ выражения вида $\frac{c}{z^k}$ (где $c$ - константа, $k>0$) стремятся к нулю, получаем:
$\frac{0-0}{12+0} = \frac{0}{12} = 0$
Это соответствует правилу, что если степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2), предел равен нулю.
Ответ: 0

б) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $z$:
$lim_{z \to \infty} \frac{12z^2+4000}{4-60z} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{12z^2}{z}+\frac{4000}{z}}{\frac{4}{z}-\frac{60z}{z}} = lim_{z \to \infty} \frac{12z+\frac{4000}{z}}{\frac{4}{z}-60}$
При $z \to \infty$ числитель $12z+\frac{4000}{z}$ стремится к $+\infty$, а знаменатель $\frac{4}{z}-60$ стремится к $-60$.
Следовательно, предел равен $\frac{+\infty}{-60} = -\infty$.
Это соответствует правилу, что если степень многочлена в числителе (2) больше степени многочлена в знаменателе (1), предел равен бесконечности.
Ответ: $-\infty$

в) Степень многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе - 3. Так как степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю. Проверим, разделив на $x^3$:
$lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+3x+1}{20x^3-1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^3}+\frac{3x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\frac{20x^3}{x^3}-\frac{1}{x^3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{20-\frac{1}{x^3}} = \frac{0+0+0}{20-0} = 0$
Ответ: 0

г) Степень многочлена в числителе равна 3, а в знаменателе - 2. Так как степень числителя больше степени знаменателя, предел равен бесконечности. Проверим, разделив на $x^2$:
$lim_{x \to \infty} \frac{20x^3-1}{4x^2+3x+1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{20x^3}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = lim_{x \to \infty} \frac{20x-\frac{1}{x^2}}{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}$
При $x \to \infty$ числитель стремится к $+\infty$, а знаменатель к 4.
Следовательно, предел равен $\frac{+\infty}{4} = +\infty$.
Ответ: $+\infty$

д) Рассмотрим предел $lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_0}$. Поведение предела зависит от соотношения степеней $n$ и $m$. Для анализа вынесем за скобки старшие степени в числителе и знаменателе:
$lim_{x \to \infty} \frac{x^n(a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + ... + \frac{a_0}{x^n})}{x^m(b_m + \frac{b_{m-1}}{x} + ... + \frac{b_0}{x^m})} = lim_{x \to \infty} (\frac{x^n}{x^m} \cdot \frac{a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + ...}{b_m + \frac{b_{m-1}}{x} + ...})$
При $x \to \infty$ дробь с коэффициентами стремится к $\frac{a_n}{b_m}$. Поведение всего выражения определяется множителем $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$.
1. При $n = m$: $x^{n-m} = x^0 = 1$. Предел равен $1 \cdot \frac{a_n}{b_m} = \frac{a_n}{b_n}$.
2. При $n < m$: $n-m < 0$. Тогда $x^{n-m} \to 0$. Предел равен $0 \cdot \frac{a_n}{b_m} = 0$.
3. При $n > m$: $n-m > 0$. Тогда $x^{n-m} \to \infty$. Предел равен $\infty \cdot \frac{a_n}{b_m} = sign(\frac{a_n}{b_m})\cdot\infty$, то есть бесконечность.
Ответ: Предел равен $\frac{a_n}{b_m}$ при $n=m$; $0$ при $nm$ (знак бесконечности определяется знаком отношения $\frac{a_n}{b_m}$).

Отношение значений двух многочленов при стремлении аргумента к бесконечности равно отношению коэффициентов при старших степенях, если степени многочленов равны; равно нулю, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе; и равно бесконечности, если степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

5. (2) Вычислите значения пределов:

a)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)$;

б)

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x + 1}{\sqrt{x^2 + 3x + 10} + 8x}$.

а) Вычислим предел $lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)$. При подстановке бесконечности получаем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x)$.
$lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x) = lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}$
Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x + 1})^2 - (2x)^2}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x} = lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + x + 1 - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x} = lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}$
Теперь мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}{x}} = lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 + x + 1}}{x} + \frac{2x}{x}}$
Так как $x \to +\infty$, то $x > 0$, и мы можем внести $x$ под знак корня как $x = \sqrt{x^2}$:
$lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2 + x + 1}{x^2}} + 2} = lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$
Поскольку при $x \to +\infty$ дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{1 + 0}{\sqrt{4 + 0 + 0} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Вычислим предел $lim_{x \to +\infty} \frac{6x + 1}{\sqrt{x^2 + 3x + 10} + 8x}$.Здесь мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в первом приближении, то есть на $x$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{6x + 1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 3x + 10} + 8x}{x}} = lim_{x \to +\infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 3x + 10}}{x} + \frac{8x}{x}}$
Так как $x \to +\infty$, то $x > 0$, и мы можем внести $x$ под знак корня как $x = \sqrt{x^2}$:
$lim_{x \to +\infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2}} + 8} = lim_{x \to +\infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{10}{x^2}} + 8}$
При $x \to +\infty$ дроби $\frac{1}{x}$, $\frac{3}{x}$ и $\frac{10}{x^2}$ стремятся к нулю. Подставив предельные значения, получим:
$\frac{6 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 8} = \frac{6}{\sqrt{1} + 8} = \frac{6}{1 + 8} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

6. (2) Вычислите значения пределов:

а) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x+3}$;

б) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x+3}$;

в) $\lim_{x \to b} \frac{x^2 - b^2}{x-b}$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.
Функция, стоящая под знаком предела, является элементарной и определена в точке $x = -1$ (знаменатель не обращается в ноль). Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке. Выполним прямую подстановку значения $x = -1$ в выражение:
$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(-1)^2 - 9}{-1 + 3} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Ответ: -4

б) Вычислим предел $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.
При подстановке значения $x = -3$ в выражение возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\frac{(-3)^2 - 9}{-3 + 3} = \frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.
Подставим разложенный числитель в предел и сократим дробь на $(x+3)$, так как при вычислении предела $x$ стремится к -3, но не равен ему ($x \ne -3$):
$\lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (x - 3)$.
Теперь можно подставить значение $x = -3$ в полученное выражение:
$-3 - 3 = -6$.
Ответ: -6

в) Вычислим предел $\lim_{x \to b} \frac{x^2 - b^2}{x - b}$.
При подстановке $x=b$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\frac{b^2 - b^2}{b - b} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности, как и в предыдущем пункте, разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$x^2 - b^2 = (x - b)(x + b)$.
Подставим разложение в предел и сократим на множитель $(x-b)$, так как $x \to b$, но $x \ne b$:
$\lim_{x \to b} \frac{(x - b)(x + b)}{x - b} = \lim_{x \to b} (x + b)$.
Выполним подстановку $x = b$ в упрощенное выражение:
$b + b = 2b$.
Ответ: 2b

7. (3) Вычислите значения пределов:

а) $lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{2x+1}}{x}$

б) $lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{5+x}-2}$

в) $lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{2x+1}}{x}$.

При прямой подстановке предельного значения $x=0$ в функцию возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{1 - \sqrt{2(0)+1}}{0} = \frac{1 - \sqrt{1}}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $1 + \sqrt{2x+1}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{2x+1}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{2x+1})(1 + \sqrt{2x+1})}{x(1 + \sqrt{2x+1})}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1^2 - (\sqrt{2x+1})^2}{x(1 + \sqrt{2x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (2x+1)}{x(1 + \sqrt{2x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - 1}{x(1 + \sqrt{2x+1})} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{x(1 + \sqrt{2x+1})}$

Сократим дробь на $x$ (поскольку $x \to 0$, то $x \neq 0$):

$\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + \sqrt{2x+1}}$

Теперь можно выполнить подстановку $x=0$:

$\frac{-2}{1 + \sqrt{2(0)+1}} = \frac{-2}{1 + \sqrt{1}} = \frac{-2}{1+1} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1$

б) Вычислим предел $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{5+x}-2}$.

При подстановке $x=-1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{2(-1)+3}-1}{\sqrt{5+(-1)}-2} = \frac{\sqrt{-2+3}-1}{\sqrt{4}-2} = \frac{\sqrt{1}-1}{2-2} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности домножим дробь на сопряженное выражение к числителю ($\sqrt{2x+3}+1$) и на сопряженное выражение к знаменателю ($\sqrt{5+x}+2$).

$\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{5+x}-2} = \lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt{2x+3}-1)(\sqrt{2x+3}+1)(\sqrt{5+x}+2)}{(\sqrt{5+x}-2)(\sqrt{5+x}+2)(\sqrt{2x+3}+1)}$

Применим формулу разности квадратов в числителе и знаменателе:

$\lim_{x \to -1} \frac{(2x+3 - 1)(\sqrt{5+x}+2)}{(5+x - 4)(\sqrt{2x+3}+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(2x+2)(\sqrt{5+x}+2)}{(x+1)(\sqrt{2x+3}+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{2(x+1)(\sqrt{5+x}+2)}{(x+1)(\sqrt{2x+3}+1)}$

Сократим дробь на $(x+1)$ (поскольку $x \to -1$, то $x+1 \neq 0$):

$\lim_{x \to -1} \frac{2(\sqrt{5+x}+2)}{\sqrt{2x+3}+1}$

Теперь подставим $x=-1$ в оставшееся выражение:

$\frac{2(\sqrt{5+(-1)}+2)}{\sqrt{2(-1)+3}+1} = \frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1}+1} = \frac{2(2+2)}{1+1} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$

Ответ: $4$

в) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{1-2(0)-0^2}-(1+0)}{0} = \frac{\sqrt{1}-1}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю: $\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)$.

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x))(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}$

Применим формулу разности квадратов в числителе:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-2x-x^2})^2 - (1+x)^2}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-2x-x^2) - (1+2x+x^2)}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\lim_{x \to 0} \frac{1-2x-x^2-1-2x-x^2}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x-2x^2}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))}$

Вынесем $x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\lim_{x \to 0} \frac{x(-4-2x)}{x(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-4-2x}{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}$

Теперь подставим $x=0$:

$\frac{-4-2(0)}{\sqrt{1-2(0)-0^2}+(1+0)} = \frac{-4}{\sqrt{1}+1} = \frac{-4}{1+1} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2$