Номер 4, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2) Вычислите значения пределов:

a) $\lim_{z\to\infty} \frac{4-60z}{12z^2+4000}$;

б) $\lim_{z\to\infty} \frac{12z^2+4000}{4-60z}$;

в) $\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2+3x+1}{20x^3-1}$;

г) $\lim_{x\to\infty} \frac{20x^3-1}{4x^2+3x+1}$;

д) $\lim_{x\to\infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0}$ при различных случаях $n=m$, $nm$, где $n$ и $m$ - натуральные числа. Сформулируйте общее утверждение, начиная со слов: «Отношение значений двух многочленов...»

а) Для вычисления предела отношения двух многочленов при $z \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $z^2$:
$lim_{z \to \infty} \frac{4-60z}{12z^2+4000} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{4}{z^2}-\frac{60z}{z^2}}{\frac{12z^2}{z^2}+\frac{4000}{z^2}} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{4}{z^2}-\frac{60}{z}}{12+\frac{4000}{z^2}}$
Так как при $z \to \infty$ выражения вида $\frac{c}{z^k}$ (где $c$ - константа, $k>0$) стремятся к нулю, получаем:
$\frac{0-0}{12+0} = \frac{0}{12} = 0$
Это соответствует правилу, что если степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2), предел равен нулю.
Ответ: 0

б) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $z$:
$lim_{z \to \infty} \frac{12z^2+4000}{4-60z} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{12z^2}{z}+\frac{4000}{z}}{\frac{4}{z}-\frac{60z}{z}} = lim_{z \to \infty} \frac{12z+\frac{4000}{z}}{\frac{4}{z}-60}$
При $z \to \infty$ числитель $12z+\frac{4000}{z}$ стремится к $+\infty$, а знаменатель $\frac{4}{z}-60$ стремится к $-60$.
Следовательно, предел равен $\frac{+\infty}{-60} = -\infty$.
Это соответствует правилу, что если степень многочлена в числителе (2) больше степени многочлена в знаменателе (1), предел равен бесконечности.
Ответ: $-\infty$

в) Степень многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе - 3. Так как степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю. Проверим, разделив на $x^3$:
$lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+3x+1}{20x^3-1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^3}+\frac{3x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\frac{20x^3}{x^3}-\frac{1}{x^3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{20-\frac{1}{x^3}} = \frac{0+0+0}{20-0} = 0$
Ответ: 0

г) Степень многочлена в числителе равна 3, а в знаменателе - 2. Так как степень числителя больше степени знаменателя, предел равен бесконечности. Проверим, разделив на $x^2$:
$lim_{x \to \infty} \frac{20x^3-1}{4x^2+3x+1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{20x^3}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = lim_{x \to \infty} \frac{20x-\frac{1}{x^2}}{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}$
При $x \to \infty$ числитель стремится к $+\infty$, а знаменатель к 4.
Следовательно, предел равен $\frac{+\infty}{4} = +\infty$.
Ответ: $+\infty$

д) Рассмотрим предел $lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_0}$. Поведение предела зависит от соотношения степеней $n$ и $m$. Для анализа вынесем за скобки старшие степени в числителе и знаменателе:
$lim_{x \to \infty} \frac{x^n(a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + ... + \frac{a_0}{x^n})}{x^m(b_m + \frac{b_{m-1}}{x} + ... + \frac{b_0}{x^m})} = lim_{x \to \infty} (\frac{x^n}{x^m} \cdot \frac{a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + ...}{b_m + \frac{b_{m-1}}{x} + ...})$
При $x \to \infty$ дробь с коэффициентами стремится к $\frac{a_n}{b_m}$. Поведение всего выражения определяется множителем $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$.
1. При $n = m$: $x^{n-m} = x^0 = 1$. Предел равен $1 \cdot \frac{a_n}{b_m} = \frac{a_n}{b_n}$.
2. При $n < m$: $n-m < 0$. Тогда $x^{n-m} \to 0$. Предел равен $0 \cdot \frac{a_n}{b_m} = 0$.
3. При $n > m$: $n-m > 0$. Тогда $x^{n-m} \to \infty$. Предел равен $\infty \cdot \frac{a_n}{b_m} = sign(\frac{a_n}{b_m})\cdot\infty$, то есть бесконечность.
Ответ: Предел равен $\frac{a_n}{b_m}$ при $n=m$; $0$ при $nm$ (знак бесконечности определяется знаком отношения $\frac{a_n}{b_m}$).

Отношение значений двух многочленов при стремлении аргумента к бесконечности равно отношению коэффициентов при старших степенях, если степени многочленов равны; равно нулю, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе; и равно бесконечности, если степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.