Номер 5, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2) Вычислите значения пределов:

a)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)$;

б)

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x + 1}{\sqrt{x^2 + 3x + 10} + 8x}$.

а) Вычислим предел $lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)$. При подстановке бесконечности получаем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x)$.
$lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x) = lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}$
Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x + 1})^2 - (2x)^2}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x} = lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + x + 1 - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x} = lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}$
Теперь мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}{x}} = lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 + x + 1}}{x} + \frac{2x}{x}}$
Так как $x \to +\infty$, то $x > 0$, и мы можем внести $x$ под знак корня как $x = \sqrt{x^2}$:
$lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2 + x + 1}{x^2}} + 2} = lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$
Поскольку при $x \to +\infty$ дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{1 + 0}{\sqrt{4 + 0 + 0} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Вычислим предел $lim_{x \to +\infty} \frac{6x + 1}{\sqrt{x^2 + 3x + 10} + 8x}$.Здесь мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в первом приближении, то есть на $x$.
$lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{6x + 1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 3x + 10} + 8x}{x}} = lim_{x \to +\infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 3x + 10}}{x} + \frac{8x}{x}}$
Так как $x \to +\infty$, то $x > 0$, и мы можем внести $x$ под знак корня как $x = \sqrt{x^2}$:
$lim_{x \to +\infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2}} + 8} = lim_{x \to +\infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{10}{x^2}} + 8}$
При $x \to +\infty$ дроби $\frac{1}{x}$, $\frac{3}{x}$ и $\frac{10}{x^2}$ стремятся к нулю. Подставив предельные значения, получим:
$\frac{6 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 8} = \frac{6}{\sqrt{1} + 8} = \frac{6}{1 + 8} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.