Номер 11, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (1) Существуют ли $\lim_{x \to \infty} \mathrm{arctg}\,x$, $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctg}\,x$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

Да, оба предела существуют. Они представляют собой значения, к которым стремится функция арктангенса при стремлении ее аргумента к плюс и минус бесконечности. Рассмотрим каждый предел отдельно.

$\lim_{x \to +\infty} \text{arctg} \, x$

Функция $y = \text{arctg} \, x$ (арктангенс) является обратной к функции $x = \text{tg} \, y$ (тангенс) на интервале $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что область определения функции арктангенса — это все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), а область значений — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Чтобы найти предел, рассмотрим поведение исходной функции тангенса. Когда угол $y$ приближается к значению $\frac{\pi}{2}$, оставаясь при этом меньше его (что обозначается как $y \to (\frac{\pi}{2})^-$), значение тангенса $\text{tg} \, y$ неограниченно возрастает и стремится к плюс бесконечности ($+\infty$).

Формально это записывается так: $\lim_{y \to (\pi/2)^-} \text{tg} \, y = +\infty$.

Поскольку $y = \text{arctg} \, x$ является обратной функцией для $x = \text{tg} \, y$, то это соотношение работает и в обратную сторону: если аргумент $x$ стремится к $+\infty$, то значение функции $\text{arctg} \, x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$.

Геометрически это означает, что график функции $y = \text{arctg} \, x$ имеет правую горизонтальную асимптоту $y = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x \to +\infty} \text{arctg} \, x = \frac{\pi}{2}$.

$\lim_{x \to -\infty} \text{arctg} \, x$

Рассуждая аналогично, рассмотрим поведение тангенса, когда его аргумент $y$ приближается к $-\frac{\pi}{2}$, оставаясь больше этого значения (обозначается как $y \to (-\frac{\pi}{2})^+$). В этом случае значение $\text{tg} \, y$ неограниченно убывает и стремится к минус бесконечности ($-\infty$).

Формально: $\lim_{y \to (-\pi/2)^+} \text{tg} \, y = -\infty$.

Для обратной функции $y = \text{arctg} \, x$ это означает, что когда ее аргумент $x$ стремится к $-\infty$, значение функции стремится к $-\frac{\pi}{2}$.

Геометрически это означает, что график функции $y = \text{arctg} \, x$ имеет левую горизонтальную асимптоту $y = -\frac{\pi}{2}$.

Также этот предел можно найти, используя свойство нечетности функции арктангенса: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Сделаем замену переменной $t = -x$. Когда $x \to -\infty$, то $t \to +\infty$.$\lim_{x \to -\infty} \text{arctg} \, x = \lim_{t \to +\infty} \text{arctg}(-t) = \lim_{t \to +\infty} (-\text{arctg}(t)) = -\lim_{t \to +\infty} \text{arctg}(t) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} \text{arctg} \, x = -\frac{\pi}{2}$.