Номер 7, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (1) Постройте график функции $f(x)=\frac{-x^2+1}{x+1}$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x\to-1-0} f(x)$, $\lim_{x\to-1+0} f(x)$. Обоснуйте существование предела функции $f(x)$ в точке $a=-1$ и найдите $\lim_{x\to-1} f(x)$.

в) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

г) Определите $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

Для построения графика функции $f(x)=\frac{-x^2+1}{x+1}$ сначала упростим ее выражение. Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $-x^2+1 = 1-x^2 = (1-x)(1+x)$.

Тогда при $x \neq -1$ функция примет вид:

$f(x) = \frac{(1-x)(1+x)}{x+1} = 1-x$.

Таким образом, график функции $f(x)$ совпадает с графиком линейной функции $y = -x+1$ за исключением одной точки, где $x = -1$. В этой точке функция не определена, на графике это будет "выколотая" точка (точка разрыва).

Найдем координаты этой выколотой точки. Для этого подставим значение $x=-1$ в упрощенное выражение $y = -x+1$:

$y = -(-1) + 1 = 1+1 = 2$.

Координаты точки разрыва: $(-1, 2)$.

Для построения прямой $y = -x+1$ найдем две любые точки на ней:

Если $x=0$, то $y = -0+1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

Если $x=1$, то $y = -1+1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Итак, график функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$, с выколотой точкой $(-1, 2)$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

Область определения $D(f)$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых функция определена. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Следовательно, область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$ — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Функция $f(x)$ принимает все значения, которые принимает линейная функция $y=-x+1$, кроме значения в точке $x=-1$. Мы вычислили, что в этой точке $y$ было бы равно 2. Так как $x=-1$ не входит в область определения, значение $y=2$ не входит в множество значений.

Следовательно, множество значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Множество значений $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$. Обоснуйте существование предела функции $f(x)$ в точке $a=-1$ и найдите $\lim_{x \to -1} f(x)$.

Пользуясь графиком (прямая $y=-x+1$ с выколотой точкой $(-1, 2)$), видим, что при приближении к $x=-1$ как слева (из меньших значений), так и справа (из больших значений), значения функции $f(x)$ стремятся к ординате выколотой точки, то есть к 2.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1-0} f(x) = 2$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1+0} f(x) = 2$.

Предел функции в точке существует, если ее левосторонний и правосторонний пределы в этой точке существуют и равны. В нашем случае оба односторонних предела существуют и равны 2.

Следовательно, предел функции $f(x)$ в точке $a=-1$ существует и равен их общему значению.

$\lim_{x \to -1} f(x) = 2$.

Ответ: $\lim_{x \to -1-0} f(x) = 2$, $\lim_{x \to -1+0} f(x) = 2$. Предел в точке $a=-1$ существует, так как односторонние пределы равны, и $\lim_{x \to -1} f(x) = 2$.

в) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция $f(x)$ непрерывна на всей своей области определения, так как она эквивалентна элементарной функции $y=-x+1$ на этой области. Область определения функции: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Следовательно, промежутки непрерывности: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Точка $x=-1$ не принадлежит области определения, значит, в этой точке функция имеет разрыв.

Так как предел функции в точке $x=-1$ существует, но функция в этой точке не определена, то $x=-1$ является точкой устранимого разрыва (разрыва первого рода).

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Точка разрыва: $x=-1$.

г) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Для нахождения пределов на бесконечности используем упрощенное выражение $f(x)=-x+1$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), слагаемое $-x$ стремится к плюс бесконечности. Таким образом:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-x+1) = +\infty$.

Когда $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), слагаемое $-x$ стремится к минус бесконечности. Таким образом:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x+1) = -\infty$.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.