Номер 1, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Постройте график функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$. Обоснуйте существование предела функции $f(x)$ в точке $a=-1$ и найдите $\lim_{x \to -1} f(x)$.

в) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

г) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Для решения задачи сначала проанализируем и упростим данную функцию.

Функция задана формулой $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$.

Числитель дроби $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Тогда функцию можно переписать в виде: $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$.

Знаменатель дроби равен нулю при $x+1=0$, то есть при $x = -1$. В этой точке функция не определена. При всех остальных значениях $x$ (то есть при $x \neq -1$) мы можем сократить дробь на $(x+1)$.

Таким образом, для всех $x \neq -1$ функция $f(x)$ совпадает с линейной функцией $y = x - 1$.

Графиком функции $f(x)$ является прямая $y = x - 1$ с "выколотой" точкой, соответствующей абсциссе $x = -1$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -1$ в выражение $y = x-1$:

$y = (-1) - 1 = -2$.

Следовательно, график функции — это прямая линия $y = x - 1$ с выколотой точкой $(-1, -2)$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

Область определения D(f): Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Множество значений E(f): Поскольку $f(x) = x-1$ при $x \neq -1$, функция принимает все значения, которые принимает линейная функция $y=x-1$, за исключением того значения, которое она приняла бы в точке $x = -1$.
Как мы уже рассчитали, при $x = -1$ значение было бы $y = -2$.
Следовательно, множество значений функции не включает число -2.
Множество значений: $E(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Множество значений $E(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$. Обоснуйте существование предела функции $f(x)$ в точке $a=-1$ и найдите $\lim_{x \to -1} f(x)$.

Из графика (прямая $y=x-1$ с выколотой точкой $(-1, -2)$) видно, что при приближении $x$ к $-1$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к ординате выколотой точки, то есть к $-2$.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1-0} f(x) = -2$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1+0} f(x) = -2$.

Обоснование существования предела: Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой левосторонний и правосторонний пределы в этой точке. В нашем случае оба односторонних предела существуют и равны $-2$.

$\lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} f(x) = -2$.

Следовательно, предел функции $f(x)$ в точке $a=-1$ существует и равен этому значению.

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (x-1) = -1 - 1 = -2$.

Ответ: $\lim_{x \to -1-0} f(x) = -2$, $\lim_{x \to -1+0} f(x) = -2$. Предел в точке $a=-1$ существует, так как односторонние пределы равны, и $\lim_{x \to -1} f(x) = -2$.

в) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Рациональная функция непрерывна на всей своей области определения. Так как область определения функции $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$, то функция непрерывна на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Точка $x = -1$ является точкой разрыва, так как функция в ней не определена.

Чтобы определить тип разрыва, рассмотрим предел функции в этой точке. Так как $\lim_{x \to -1} f(x) = -2$ существует и конечен, то в точке $x = -1$ функция имеет устранимый разрыв (или разрыв первого рода).

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Точка разрыва: $x = -1$ (устранимый разрыв).

г) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Для нахождения пределов на бесконечности используем эквивалентную функцию $f(x) = x-1$ (так как мы рассматриваем $x$, стремящиеся к бесконечности, то $x \neq -1$).

Предел при $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x-1) = -\infty$.
(Когда $x$ принимает большие по модулю отрицательные значения, $x-1$ также стремится к минус бесконечности).

Предел при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty$.
(Когда $x$ принимает большие положительные значения, $x-1$ также стремится к плюс бесконечности).

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.