Номер 6, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (3) Функция $y = f(x)$ определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} x+1+\pi, & \text{если } x \in (-\infty; -1), \\ \arccos x, & \text{если } x \in (-1;1), \\ x^2, & \text{если } x \in (1;+\infty) \end{cases}$

а) Постройте график функции $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, найдите область определения и множество значений функции.

б) Определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$, $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$.

в) Существуют ли $\lim_{x \to 1} f(x)$, $\lim_{x \to -1} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

г) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

а) Постройте график функции $f(x)$, найдите область определения и множество значений функции.

Функция задана кусочно. Проанализируем каждый участок:

1. Участок $x \in (-\infty; -1)$: функция имеет вид $f(x) = x+1+\pi$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k=1$. Найдём предел функции при $x \to -1$ слева: $\lim_{x \to -1-0} (x+1+\pi) = -1+1+\pi = \pi$. Таким образом, график на этом интервале — это луч, который заканчивается в точке $(-1, \pi)$, сама точка не включается (изображается выколотой).

2. Участок $x \in [-1; 1)$: функция имеет вид $f(x) = \arccos(x)$. Это стандартная функция арккосинуса. В точке $x=-1$ значение функции равно $f(-1) = \arccos(-1) = \pi$. Таким образом, точка $(-1, \pi)$ принадлежит графику (изображается закрашенной). При $x \to 1$ слева, $\lim_{x \to 1-0} \arccos(x) = \arccos(1) = 0$. Точка $(1, 0)$ не принадлежит графику (изображается выколотой).

3. Участок $x \in (1; +\infty)$: функция имеет вид $f(x) = x^2$. Это ветвь параболы. При $x \to 1$ справа, $\lim_{x \to 1+0} x^2 = 1^2 = 1$. График начинается из точки $(1, 1)$, которая не включается (изображается выколотой), и уходит в бесконечность.

Область определения $D(f)$:

Функция определена на объединении интервалов $(-\infty; -1)$, $[-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка $x=1$ не входит в область определения.

$D(f) = (-\infty; -1) \cup [-1; 1) \cup (1; +\infty) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Найдём множество значений на каждом участке:

- Для $x \in (-\infty; -1)$, $f(x) = x+1+\pi$ принимает значения в интервале $(-\infty; \pi)$.

- Для $x \in [-1; 1)$, $f(x) = \arccos(x)$ принимает значения в интервале $(\arccos(1); \arccos(-1)] = (0; \pi]$.

- Для $x \in (1; +\infty)$, $f(x) = x^2$ принимает значения в интервале $(1; +\infty)$.

Объединим полученные множества: $(-\infty; \pi) \cup (0; \pi] \cup (1; +\infty)$.

$(-\infty; \pi) \cup (0; \pi] = (-\infty; \pi]$.

$(-\infty; \pi] \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Множество значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$. График функции состоит из трех частей: луча прямой $y=x+1+\pi$ на $(-\infty; -1)$, части кривой $y=\arccos(x)$ на $[-1; 1)$ и ветви параболы $y=x^2$ на $(1; +\infty)$.

б) Определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$, $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$.

Для нахождения односторонних пределов используем соответствующее определение функции в окрестности предельной точки.

- Предел при $x \to 1-0$ (слева): $x$ находится в интервале $[-1; 1)$, поэтому $f(x) = \arccos(x)$.

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} \arccos(x) = \arccos(1) = 0$.

- Предел при $x \to 1+0$ (справа): $x$ находится в интервале $(1; +\infty)$, поэтому $f(x) = x^2$.

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} x^2 = 1^2 = 1$.

- Предел при $x \to -1-0$ (слева): $x$ находится в интервале $(-\infty; -1)$, поэтому $f(x) = x+1+\pi$.

$\lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1-0} (x+1+\pi) = -1+1+\pi = \pi$.

- Предел при $x \to -1+0$ (справа): $x$ находится в интервале $[-1; 1)$, поэтому $f(x) = \arccos(x)$.

$\lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} \arccos(x) = \arccos(-1) = \pi$.

Ответ: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$, $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$, $\lim_{x \to -1-0} f(x) = \pi$, $\lim_{x \to -1+0} f(x) = \pi$.

в) Существуют ли $\lim_{x \to 1} f(x)$, $\lim_{x \to -1} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

Двусторонний предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой левый и правый односторонние пределы в этой точке.

- Для точки $x=1$:

Из пункта б) имеем: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$.

Так как $0 \neq 1$, односторонние пределы не равны. Следовательно, предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует.

- Для точки $x=-1$:

Из пункта б) имеем: $\lim_{x \to -1-0} f(x) = \pi$ и $\lim_{x \to -1+0} f(x) = \pi$.

Так как односторонние пределы равны, предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ существует и равен их общему значению.

$\lim_{x \to -1} f(x) = \pi$.

Ответ: Предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны. Предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ существует и равен $\pi$.

г) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

- При $x \to +\infty$ функция определяется формулой $f(x) = x^2$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

- При $x \to -\infty$ функция определяется формулой $f(x) = x+1+\pi$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x+1+\pi) = -\infty$.

Ответ: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Проверим точки, где меняется аналитическое задание функции: $x=-1$ и $x=1$.

- Точка $x=-1$:

Значение функции: $f(-1) = \arccos(-1) = \pi$.

Предел функции (из пункта в)): $\lim_{x \to -1} f(x) = \pi$.

Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$, функция непрерывна в точке $x=-1$.

- Точка $x=1$:

Функция не определена в точке $x=1$, следовательно, она имеет в этой точке разрыв.

Определим тип разрыва. Из пункта б) мы знаем, что односторонние пределы существуют и конечны: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$.

Так как односторонние пределы существуют, конечны, но не равны, в точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

На всех остальных участках области определения функция задана элементарными непрерывными функциями, поэтому она непрерывна.

Ответ: Промежутки непрерывности функции: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка разрыва: $x=1$. Это разрыв первого рода (скачок).