Номер 12, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) Функция $y=f(x)$ определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} \frac{3x}{x+2}, & \text{если } x \in (-\infty; -2) \\ \arcsin \frac{1}{2}x, & \text{если } x \in [-2; 2] \\ \frac{\pi}{2}, & \text{если } x \in (2; +\infty) \end{cases}$

а) Постройте график функции $y=f(x)$, найдите область определения и множество значений функции.

б) Определите $\lim_{x \to -2-0} f(x)$, $\lim_{x \to -2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$.

в) Существуют ли $\lim_{x \to -2} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

г) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

а) Постройте график функции y=f(x), найдите область определения и множество значений функции.

Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. Область определения функции $D(f)$.
Функция определена на трех интервалах: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2]$ и $(2; +\infty)$. Объединение этих промежутков дает всю числовую прямую.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup [-2; 2] \cup (2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

2. Построение графика $y=f(x)$.
- На промежутке $x \in (-\infty; -2)$ функция задана как $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Это дробно-линейная функция (гипербола). Преобразуем выражение: $f(x) = \frac{3(x+2)-6}{x+2} = 3 - \frac{6}{x+2}$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=3$ и вертикальную асимптоту $x=-2$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 3$. При $x \to -2$ слева ($x \to -2-0$), знаменатель $x+2 \to 0-$, значит $\frac{6}{x+2} \to -\infty$, и $f(x) \to 3 - (-\infty) = +\infty$.
- На отрезке $x \in [-2; 2]$ функция задана как $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$. Это график функции арксинус, растянутый в 2 раза вдоль оси Ox.
Найдем значения на концах отрезка:
$f(-2) = \arcsin(\frac{-2}{2}) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-2, -\frac{\pi}{2})$ принадлежит графику.
$f(2) = \arcsin(\frac{2}{2}) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(2, \frac{\pi}{2})$ принадлежит графику.
- На промежутке $x \in (2; +\infty)$ функция задана как $f(x) = \frac{\pi}{2}$. Это горизонтальная прямая (луч), выходящая из точки $(2, \frac{\pi}{2})$ (точка выколота) и идущая вправо.

3. Множество значений функции $E(f)$.
- На промежутке $(-\infty; -2)$ функция принимает значения от $3$ (не включая, так как это асимптота) до $+\infty$. Множество значений на этом участке: $(3; +\infty)$.
- На отрезке $[-2; 2]$ функция $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$ принимает все значения от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ включительно. Множество значений на этом участке: $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
- На промежутке $(2; +\infty)$ функция принимает только одно значение: $\frac{\pi}{2}$.
Объединяя все полученные множества, получаем: $E(f) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \cup (3; +\infty)$. (Учитывая, что $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, эти множества не пересекаются).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \cup (3; +\infty)$. График состоит из ветви гиперболы на $(-\infty; -2)$, кривой арксинуса на $[-2; 2]$ и горизонтального луча на $(2; +\infty)$.

б) Определите $\lim_{x\to-2-0} f(x)$, $\lim_{x\to-2+0} f(x)$, $\lim_{x\to2-0} f(x)$, $\lim_{x\to2+0} f(x)$.

- Для левостороннего предела при $x \to -2-0$ используем первую формулу $f(x) = \frac{3x}{x+2}$:
$\lim_{x\to-2-0} f(x) = \lim_{x\to-2-0} \frac{3x}{x+2} = \frac{3(-2)}{-2-0+2} = \frac{-6}{-0} = +\infty$.
- Для правостороннего предела при $x \to -2+0$ используем вторую формулу $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$:
$\lim_{x\to-2+0} f(x) = \lim_{x\to-2+0} \arcsin\frac{x}{2} = \arcsin(\frac{-2}{2}) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
- Для левостороннего предела при $x \to 2-0$ используем вторую формулу $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$:
$\lim_{x\to2-0} f(x) = \lim_{x\to2-0} \arcsin\frac{x}{2} = \arcsin(\frac{2}{2}) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
- Для правостороннего предела при $x \to 2+0$ используем третью формулу $f(x) = \frac{\pi}{2}$:
$\lim_{x\to2+0} f(x) = \lim_{x\to2+0} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x\to-2-0} f(x) = +\infty$; $\lim_{x\to-2+0} f(x) = -\frac{\pi}{2}$; $\lim_{x\to2-0} f(x) = \frac{\pi}{2}$; $\lim_{x\to2+0} f(x) = \frac{\pi}{2}$.

в) Существуют ли $\lim_{x\to-2} f(x)$, $\lim_{x\to2} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

Двусторонний предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу односторонние пределы в этой точке.
- В точке $x=-2$:
$\lim_{x\to-2-0} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x\to-2+0} f(x) = -\frac{\pi}{2}$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($\infty \neq -\frac{\pi}{2}$), предел $\lim_{x\to-2} f(x)$ не существует.
- В точке $x=2$:
$\lim_{x\to2-0} f(x) = \frac{\pi}{2}$ и $\lim_{x\to2+0} f(x) = \frac{\pi}{2}$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел $\lim_{x\to2} f(x)$ существует и равен их общему значению.

Ответ: Предел $\lim_{x\to-2} f(x)$ не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны. Предел $\lim_{x\to2} f(x)$ существует и равен $\frac{\pi}{2}$.

г) Определите $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

- При $x \to -\infty$ используем первую формулу $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Это предел отношения двух многочленов одинаковой степени, он равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{3x}{x+2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{3}{1+\frac{2}{x}} = \frac{3}{1+0} = 3$.
- При $x \to +\infty$ используем третью формулу $f(x) = \frac{\pi}{2}$. Это предел константы:
$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 3$; $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{\pi}{2}$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция непрерывна, если она определена в точке и предел в этой точке равен значению функции в этой точке.
- На интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$ функция задана элементарными функциями, которые непрерывны в своих областях определения. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на этих интервалах.
- Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=-2$ и $x=2$.
- Точка $x=-2$:
$\lim_{x\to-2-0} f(x) = +\infty$. Поскольку левый предел бесконечен, в точке $x=-2$ функция терпит разрыв. Это разрыв второго рода (бесконечный разрыв).
- Точка $x=2$:
$\lim_{x\to2-0} f(x) = \frac{\pi}{2}$, $\lim_{x\to2+0} f(x) = \frac{\pi}{2}$, следовательно $\lim_{x\to2} f(x) = \frac{\pi}{2}$.
Значение функции в этой точке: $f(2) = \arcsin(\frac{2}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
Так как $\lim_{x\to2} f(x) = f(2)$, функция непрерывна в точке $x=2$.
Таким образом, функция имеет единственную точку разрыва.

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Точка разрыва: $x=-2$ (разрыв второго рода).